1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €6 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 3% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €6 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
22 年間、毎年初めに €1 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 8% です。22 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €1 000i = 8%n = 22
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 6% のときに、残存期間 3 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 3%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 3y0 = 6%y1 = 5%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 8 年後に満期を迎え、€1 105 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 8P = €1 105
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €1 000 000re = 14%rd = 7%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 1 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 4% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.9D/E = 1T = 30%rf = 2%rm − rf = 4%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€26 000, €13 000, €14 000, €20 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −60 000CF1 = 26 000CF2 = 13 000CF3 = 14 000CF4 = 20 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €17 500, €30 000, €15 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 6%CF0 = −50 000CF1 = 17 500CF2 = 30 000CF3 = 15 000
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 300000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 6 000/(0.03 − 0.01) = 6 000/0.02 = €300 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 59893 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.08)22 − 1)/0.08 = 55.46
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 1 000·55.46·1.08 = €59 893.30
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 7.937 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €30.00, i = 0.06, N = 3
€30.00·(1 − 0.8396)/0.06 + €1 000·0.8396 = €80.19 + €839.62 = €919.81
売却価格
C = €30.00, i = 0.05, N = 2
€30.00·(1 − 0.907)/0.05 + €1 000·0.907 = €55.78 + €907.03 = €962.81
保有期間利回り
HPR = (30 + 962.81 − 919.81)/919.81 = 7.937%
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 3.474 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 105 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
数値的に解く
P(3%) = €1 140.39, P(4%) = €1 067.33
YTM = 3.474%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 13.33 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €13 000 000, E/V = 0.9231, D/V = 0.07692
WACC
WACC = 0.9231·14% + 0.07692·7%·(1 − 0.25) = 13.33%
6.CAPM と WACC
答え: re = 8.12 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.9·(1 + 0.7·1) = 1.53
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.53·4% = 8.12%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −3747 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 26 000/1.12 = 23 214.29
CF2/(1 + 0.12)2 = 13 000/1.254 = 10 363.52
CF3/(1 + 0.12)3 = 14 000/1.405 = 9 964.92
CF4/(1 + 0.12)4 = 20 000/1.574 = 12 710.36
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 9.952 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
17 500·1.062 = 19 663.00
30 000·1.061 = 31 800.00
15 000·1.060 = 15 000.00
TV = 66 463.00
MIRR
MIRR = (66 463.00/50 000)1/3 − 1 = 9.952%