1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 16%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 16%m = 12
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €150 0003.6% / 12N = 300
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 9%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、3 年後に満期を迎えます。価格は €1 114 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7% (2×)n = 3P = €1 114
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 0.9 の株式の要求収益率は 5.95% です。無リスク金利は 1% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 0.9re = 5.95%rf = 1%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €10 000 000、株主資本コストは 10% です。負債は 4 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%、残存期間 9 年）からなり、1 枚 €1 033 で取引されています。税率は 20% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €10 000 000re = 10%債券: 4 000 × €1 033クーポンレート = 7%n = 9T = 20%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、4 年間、毎年末に €13 500 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 5%CF0 = −40 000CF1 = 13 500CF2 = 13 500CF3 = 13 500CF4 = 13 500
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
€80 000 の投資が 9 年間、毎年末に €17 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €80 000CF = €17 000n = 9
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 17.23 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.01333)12 − 1 = 1.172 − 1 = 17.23%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: A = 759 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·25 = 300
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.4071
A = 150 000·0.003/(1 − 0.4071) = €759.00
3.債券の価格と利回り
答え: P = 878.4 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €35.00, i = 0.045, N = 18
クーポンの現在価値
€35.00·(1 − 0.4528)/0.045 = €425.60
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.998 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: rm = 6.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (5.95% − 1%)/0.9 = 5.5%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.598 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1033 = 70·(1 − (1 + y)−9)/y + 1000/(1 + y)9
y = 6.504%
時価
D = 4 000·€1 033 = €4 132 000
V = €14 132 000, E/V = 0.7076, D/V = 0.2924
WACC
WACC = 0.7076·10% + 0.2924·6.504%·(1 − 0.2) = 8.598%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 3.291 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 13 500/1.05 = 12 857.14 → Σ = 12 857.14
年度 2: 13 500/1.103 = 12 244.90 → Σ = 25 102.04
年度 3: 13 500/1.158 = 11 661.81 → Σ = 36 763.85
年度 4: 13 500/1.216 = 11 106.48 → Σ = 47 870.33
最後の年の端数
DPB = 3 + 3 236.15/11 106.48 = 3.291
割引回収期間は、常に単純回収期間（2.963 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 15.39 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−9)/i = 80 000/17 000 = 4.706
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 15%: 4.772
i = 16%: 4.607
IRR = 15.39%