1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €2 000 を 12 年間支払います。利率は年 8% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €2 000i = 8%n = 12
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€25 000 のローンを、年 2.4%、月複利で 6 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €25 0002.4% / 12N = 72
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 5.5%n = 10
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 6 年後に満期を迎え、€950 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 6P = €950
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 3%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 3%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €11.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 28% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 3.5%rm = 8.5%rd = 3.5%T = 28%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€24 000, €21 000, €31 000, €22 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 10%CF0 = −75 000CF1 = 24 000CF2 = 21 000CF3 = 31 000CF4 = 22 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €16 000, €8 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €50 000 で、€15 500, €19 500, €26 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −40 000, 23 000, 16 000, 8 500B: −50 000, 15 500, 19 500, 26 000
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 15072 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.3971)/0.08 = 7.536
現在価値
PV = 2 000·7.536 = €15 072.16
2.貨幣の時間価値
答え: I = 1868 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.002, N = 72
A = 25 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−72) = €373.17
利息の総額
I = N·A − P = 72·373.2 − 25 000 = €1 868.13
3.債券の価格と利回り
答え: P = 809.7 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.0275, N = 20
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.5813)/0.0275 = €228.41
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.051 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(7%) = €952.33, P(8%) = €907.54
YTM = 7.051%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.85 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·8% + 0.2·3%·(1 − 0.25) = 6.85%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.521 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€11.50 = €46 000 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
ウェイト
V = €86 000 000, E/V = 0.5349, D/V = 0.4651
WACC
WACC = 0.5349·10% + 0.4651·3.5%·(1 − 0.28) = 6.521%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 2491 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 24 000/1.1 = 21 818.18
CF2/(1 + 0.1)2 = 21 000/1.21 = 17 355.37
CF3/(1 + 0.1)3 = 31 000/1.331 = 23 290.76
CF4/(1 + 0.1)4 = 22 000/1.464 = 15 026.30
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: r* = 7.863 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 15 500 − 23 000 = −7 500
ΔCF2 = 19 500 − 16 000 = 3 500
ΔCF3 = 26 000 − 8 500 = 17 500
差の IRR
NPVΔ(7%) = 332.90
NPVΔ(8%) = −51.69
r* = 7.863%
確認：7.863% では両方の NPV が €1 848.76 です。