投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€10 000 を年 7%、連続複利で投資します。2 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €10 000r = 7%t = 2

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

16 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 3.6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €503.6% / 12N = 192

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 3%n = 12

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 5.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5YTM = 5.5%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある会社は、価値 €5 000 000 の普通株、価値 €2 000 000 の優先株、価値 €2 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 6% です。税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €5 000 000P_s = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_p = 7%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €39.00 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 8.5%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€21 000, €29 000, €28 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 29 000CF₃ = 28 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €48 000 で、5 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €200 000CF₁ = €48 000g = 4%n = 5r = 12%

NPV = €

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 11503 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.07·2 = 0.14

e^0.14 = 1.15

将来価値

FV = 10 000·1.15 = €11 502.74

答え

FV = €11 502.74

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 12956 €

月利と積立回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·16 = 192

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.777 − 1)/0.003 = €12 956.25

答え

FV = €12 956.25

自分で払い込んだのは €9 600。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1501 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €40.00, i = 0.015, N = 24

クーポンの現在価値

€40.00·(1 − 0.6995)/0.015 = €801.22

額面の現在価値

€1 000·0.6995 = €699.54

価格

P = €1 500.76

答え

P = €1 500.76

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: D = 4.615 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 40/1.055 = 37.91, t·PV = 37.91

t = 2: 40/1.113 = 35.94, t·PV = 71.88

t = 3: 40/1.174 = 34.06, t·PV = 102.19

t = 4: 40/1.239 = 32.29, t·PV = 129.15

t = 5: 1040/1.307 = 795.74, t·PV = 3 978.70

デュレーション

P = 935.95

D = 4 319.84/935.95 = 4.615

答え

D = 4.615 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.622 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = 5 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €9 000 000

E/V = 0.5556, P_s/V = 0.2222, D/V = 0.2222

WACC

WACC = 0.5556·9% + 0.2222·7% + 0.2222·6%·(1 − 0.2) = 7.622%

答え

WACC = 7.622%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.84 %

時価

E = 5 000 000·€39.00 = €195 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·5% = 9%

ウェイト

V = €200 000 000, E/V = 0.975, D/V = 0.025

WACC

WACC = 0.975·9% + 0.025·3.5%·(1 − 0.258) = 8.84%

答え

WACC = 8.84%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 4095 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 21 000/1.1 = 19 090.91

CF₂/(1 + 0.1)² = 29 000/1.21 = 23 966.94

CF₃/(1 + 0.1)³ = 28 000/1.331 = 21 036.81

合計する

NPV = €4 094.67

答え

NPV = €4 094.67

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: NPV = −14217 €

成長型年金の現在価値

((1.04)/(1.12))⁵ = 0.6904

PV = 48 000/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.6904) = 185 783.08

NPV

NPV = 185 783.08 − 200 000 = −€14 216.92

答え

NPV = −€14 216.92

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

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