1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€2 000 を年 7%、連続複利で投資します。19 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 000r = 7%t = 19
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
17 年後に €10 000 が欲しいとします。年 4.8%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €10 0004.8% / 12N = 204
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 4%n = 12
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 6 年後に満期を迎え、€885 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 6P = €885
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €4 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 7.67%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 28% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €4 000 000D = €3 000 000WACC = 7.67%rd = 4.5%T = 28%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €28.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 2.5%rm = 9%rd = 4.5%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €4 000, €5 000, €7 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 4 000CF3 = 5 000CF4 = 7 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €13 000, €12 000, €18 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 13 000CF2 = 12 000CF3 = 18 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 7562 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.07·19 = 1.33
e1.33 = 3.781
将来価値
FV = 2 000·3.781 = €7 562.09
2.貨幣の時間価値
答え: A = 31.8 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·17 = 204
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 10 000·0.004/(2.258 − 1) = €31.80
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1095 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.02, N = 24
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.6217)/0.02 = €472.85
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.446 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€885 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(7%) = €904.67, P(8%) = €861.31
YTM = 7.446%
5.CAPM と WACC
答え: re = 10.99 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286
WACC の負債の部分
0.4286·4.5%·(1 − 0.28) = 1.389%
株主資本コスト
re = (7.67% − 1.389%)/0.5714 = 10.99%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.822 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€28.50 = €71 250 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.2·6.5% = 10.3%
ウェイト
V = €91 250 000, E/V = 0.7808, D/V = 0.2192
WACC
WACC = 0.7808·10.3% + 0.2192·4.5%·(1 − 0.21) = 8.822%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 2278 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 9 000/1.05 = 8 571.43
CF2/(1 + 0.05)2 = 4 000/1.103 = 3 628.12
CF3/(1 + 0.05)3 = 5 000/1.158 = 4 319.19
CF4/(1 + 0.05)4 = 7 000/1.216 = 5 758.92
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 30.79 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 293.58
NPV(35%) = −1 470.05
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·293.58/(293.58 − (−1 470.05)) = 30.83%
正確な値: NPV(30.79%) = 0 → IRR = 30.79%