1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €2 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 3% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €2 000g = 3%r = 5%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
15 年後に €75 000 が欲しいとします。年 7.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €75 0007.2% / 12N = 180
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りが 9% から 7.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5y1 = 9%y2 = 7.5%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 045 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 3P = €1 045
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.75 です。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.75re = 14%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.3 です。負債資本比率を 1 に引き上げる計画です。税率は 25%、無リスク金利は 4%、市場リスクプレミアムは 7% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.3D/E1 = 0.4D/E2 = 1T = 25%rf = 4%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €400 000 です。1 年目の末に €38 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 3% ずつ増加します。資本コストは 11% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €400 000CF1 = €38 000g = 3%r = 11%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €13 000, €10 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 10 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 100000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 2 000/(0.05 − 0.03) = 2 000/0.02 = €100 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: A = 232.5 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·15 = 180
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 75 000·0.006/(2.935 − 1) = €232.54
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 52.88 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €40.00, i = 0.09, N = 5
€40.00·(1 − 0.6499)/0.09 + €1 000·0.6499 = €155.59 + €649.93 = €805.52
新しい利回りでの価格
C = €40.00, i = 0.075, N = 5
€40.00·(1 − 0.6966)/0.075 + €1 000·0.6966 = €161.84 + €696.56 = €858.39
変化
ΔP = 858.39 − 805.52 = €52.88
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.427 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 045 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(2%) = €1 057.68, P(3%) = €1 028.29
YTM = 2.427%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.23 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714
D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286
WACC
WACC = 0.5714·14% + 0.4286·7%·(1 − 0.258) = 10.23%
6.CAPM と WACC
答え: re = 16.25 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.3/(1 + 0.75·0.4) = 1
新しい D/E でリレバーする
βL = 1·(1 + 0.75·1) = 1.75
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 1.75·7% = 16.25%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 75000 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 38 000/(0.11 − 0.03) = 475 000.00
NPV
NPV = 475 000.00 − 400 000 = €75 000.00
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 11.91 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 495.87
NPV(15%) = −756.14
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·495.87/(495.87 − (−756.14)) = 11.98%
正確な値: NPV(11.91%) = 0 → IRR = 11.91%