1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 22%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 22%m = 12
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを、年 6%、月複利で 7 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €15 0006% / 12N = 84
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 9%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 5.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 4YTM = 5.5%
D = 年
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €1 000 000re = 13%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €12 000 000、株主資本コストは 9% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%、残存期間 10 年）からなり、1 枚 €964 で取引されています。税率は 25.8% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €12 000 000re = 9%債券: 5 000 × €964クーポンレート = 6%n = 10T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€29 000, €22 000, €33 000, €25 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −75 000CF1 = 29 000CF2 = 22 000CF3 = 33 000CF4 = 25 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
€40 000 の投資が 8 年間、毎年末に €8 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €40 000CF = €8 000n = 8
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 24.36 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.01833)12 − 1 = 1.244 − 1 = 24.36%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: I = 3407 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.005, N = 84
A = 15 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−84) = €219.13
利息の総額
I = N·A − P = 84·219.1 − 15 000 = €3 406.78
3.債券の価格と利回り
答え: P = 939.2 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.045, N = 18
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.4528)/0.045 = €486.40
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: D = 3.819 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 30/1.055 = 28.44, t·PV = 28.44
t = 2: 30/1.113 = 26.95, t·PV = 53.91
t = 3: 30/1.174 = 25.55, t·PV = 76.65
t = 4: 1030/1.239 = 831.43, t·PV = 3 325.73
デュレーション
P = 912.37
D = 3 484.72/912.37 = 3.819
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.46 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429
WACC
WACC = 0.8571·13% + 0.1429·3%·(1 − 0.258) = 11.46%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.803 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
964 = 60·(1 − (1 + y)−10)/y + 1000/(1 + y)10
y = 6.501%
時価
D = 5 000·€964 = €4 820 000
V = €16 820 000, E/V = 0.7134, D/V = 0.2866
WACC
WACC = 0.7134·9% + 0.2866·6.501%·(1 − 0.258) = 7.803%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 17329 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 29 000/1.07 = 27 102.80
CF2/(1 + 0.07)2 = 22 000/1.145 = 19 215.65
CF3/(1 + 0.07)3 = 33 000/1.225 = 26 937.83
CF4/(1 + 0.07)4 = 25 000/1.311 = 19 072.38
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 11.81 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−8)/i = 40 000/8 000 = 5
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 11%: 5.146
i = 12%: 4.968
IRR = 11.81%