1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €5 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 2% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €5 000g = 2%r = 7%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 6%、月複利で €25 000 を借り、毎月末に €775 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €25 000A = €7756% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 5%n = 5
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 6 年後に満期を迎え、€905 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 6P = €905
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €10 000 000 の普通株、価値 €1 500 000 の優先株、価値 €5 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 4.5% です。税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €10 000 000Ps = €1 500 000D = €5 000 000re = 9%rp = 7%rd = 4.5%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €38.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 1.5%rm = 7%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €7 000, €12 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 9%CF0 = −30 000CF1 = 8 000CF2 = 7 000CF3 = 12 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €10 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €3 000, €3 500, €4 500, €5 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 6%CF0 = −10 000CF1 = 3 000CF2 = 3 500CF3 = 4 500CF4 = 5 000
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 100000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 5 000/(0.07 − 0.02) = 5 000/0.05 = €100 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: N = 36 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.005
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0.005/775 = 0.8387
対数を使って解く
N = −ln(0.8387)/ln(1.005) = 35.27
返済回数を整数に切り上げる
35 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 912.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.025, N = 10
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.7812)/0.025 = €131.28
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.993 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€905 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(6%) = €950.83, P(7%) = €904.67
YTM = 6.993%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.168 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 10 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €16 500 000
E/V = 0.6061, Ps/V = 0.09091, D/V = 0.303
WACC
WACC = 0.6061·9% + 0.09091·7% + 0.303·4.5%·(1 − 0.21) = 7.168%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.151 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€38.50 = €96 250 000
D = 20 000·€980 = €19 600 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.1·5.5% = 7.55%
ウェイト
V = €115 850 000, E/V = 0.8308, D/V = 0.1692
WACC
WACC = 0.8308·7.55% + 0.1692·7%·(1 − 0.258) = 7.151%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −7503 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 8 000/1.09 = 7 339.45
CF2/(1 + 0.09)2 = 7 000/1.188 = 5 891.76
CF3/(1 + 0.09)3 = 12 000/1.295 = 9 266.20
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 14.65 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
3 000·1.063 = 3 573.05
3 500·1.062 = 3 932.60
4 500·1.061 = 4 770.00
5 000·1.060 = 5 000.00
TV = 17 275.65
MIRR
MIRR = (17 275.65/10 000)1/4 − 1 = 14.65%