投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

8 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 5%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €50 0005% / 12n = 8

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

6 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 3%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €1003% / 12N = 72

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 4% のときに、残存期間 4 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4.5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 5.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 4y₀ = 4%y₁ = 5.5%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €925 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 10.5 年です。利回りが 150 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €925y = 4%D = 10.5Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 1.5 です。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

D/E = 1.5r_e = 14%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €56.00 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 20% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 4%、市場収益率は 11% です。WACC を求めなさい。

β = 0.9r_f = 4%r_m = 11%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€27 000, €33 000, €27 000, €29 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 27 000CF₂ = 33 000CF₃ = 27 000CF₄ = 29 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €4 500, €6 500, €4 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 6 500CF₃ = 4 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 33544 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·8 = 96

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.491 = €33 543.87

答え

PV = €33 543.87

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 7878 €

月利と積立回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·6 = 72

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.197 − 1)/0.0025 = €7 877.94

答え

FV = €7 877.94

自分で払い込んだのは €7 200。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = −0.01265 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €45.00, i = 0.04, N = 4

€45.00·(1 − 0.8548)/0.04 + €1 000·0.8548 = €163.35 + €854.80 = €1 018.15

売却価格

C = €45.00, i = 0.055, N = 3

€45.00·(1 − 0.8516)/0.055 + €1 000·0.8516 = €121.41 + €851.61 = €973.02

保有期間利回り

HPR = (45 + 973.02 − 1 018.15)/1 018.15 = −0.01265%

答え

HPR = −0.01265%

4.債券の価格と利回り

答え: P = 784.9 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 10.5/1.04 = 10.1

推定価格変化

%ΔP ≈ −10.1·(0.015) = −15.14%

P ≈ 925·(1 − 0.1514) = €784.92

答え

P = €784.92

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.7 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4

D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6

WACC

WACC = 0.4·14% + 0.6·5%·(1 − 0.3) = 7.7%

答え

WACC = 7.7%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.17 %

時価

E = 5 000 000·€56.00 = €280 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 4% + 0.9·7% = 10.3%

ウェイト

V = €285 000 000, E/V = 0.9825, D/V = 0.01754

WACC

WACC = 0.9825·10.3% + 0.01754·3.5%·(1 − 0.2) = 10.17%

答え

WACC = 10.17%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 18939 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 27 000/1.09 = 24 770.64

CF₂/(1 + 0.09)² = 33 000/1.188 = 27 775.44

CF₃/(1 + 0.09)³ = 27 000/1.295 = 20 848.95

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 29 000/1.412 = 20 544.33

合計する

NPV = €18 939.37

答え

NPV = €18 939.37

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 23.69 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 578.70

NPV(25%) = −192.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·578.70/(578.70 − (−192.00)) = 23.75%

正確な値: NPV(23.69%) = 0 → IRR = 23.69%

答え

IRR = 23.69%

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