投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

9 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €50 0003% / 4n = 9

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€25 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €25 0003% / 12N = 60

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 5%n = 3

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは 5.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 6YTM = 5.5%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €20.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 30% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 1%、市場収益率は 5.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.3r_f = 1%r_m = 5.5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€10 000, €12 000, €13 000, €9 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 000CF₃ = 13 000CF₄ = 9 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €27 000, €19 000, €26 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 27 000CF₂ = 19 000CF₃ = 26 000

MIRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 38207 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.03/4 = 0.0075

N = 4·9 = 36

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.309 = €38 207.45

答え

PV = €38 207.45

2.貨幣の時間価値

答え: A = 449.2 €

月利と返済回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·5 = 60

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.8609

A = 25 000·0.0025/(1 − 0.8609) = €449.22

答え

A = €449.22

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1055 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €35.00, i = 0.025, N = 6

クーポンの現在価値

€35.00·(1 − 0.8623)/0.025 = €192.78

額面の現在価値

€1 000·0.8623 = €862.30

価格

P = €1 055.08

答え

P = €1 055.08

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: D = 5.426 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 40/1.055 = 37.91, t·PV = 37.91

t = 2: 40/1.113 = 35.94, t·PV = 71.88

t = 3: 40/1.174 = 34.06, t·PV = 102.19

t = 4: 40/1.239 = 32.29, t·PV = 129.15

t = 5: 40/1.307 = 30.61, t·PV = 153.03

t = 6: 1040/1.379 = 754.26, t·PV = 4 525.53

デュレーション

P = 925.07

D = 5 019.70/925.07 = 5.426

答え

D = 5.426 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.377 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €16 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·13% + 0.375·4.5%·(1 − 0.258) = 9.377%

答え

WACC = 9.377%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 4.499 %

時価

E = 1 000 000·€20.00 = €20 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 1.3·4.5% = 6.85%

ウェイト

V = €39 600 000, E/V = 0.5051, D/V = 0.4949

WACC

WACC = 0.5051·6.85% + 0.4949·3%·(1 − 0.3) = 4.499%

答え

WACC = 4.499%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 6482 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 10 000/1.08 = 9 259.26

CF₂/(1 + 0.08)² = 12 000/1.166 = 10 288.07

CF₃/(1 + 0.08)³ = 13 000/1.26 = 10 319.82

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 9 000/1.36 = 6 615.27

合計する

NPV = €6 482.41

答え

NPV = €6 482.41

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: MIRR = 15.98 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

27 000·1.08² = 31 492.80

19 000·1.08¹ = 20 520.00

26 000·1.08⁰ = 26 000.00

TV = 78 012.80

MIRR

MIRR = (78 012.80/50 000)^1/3 − 1 = 15.98%

答え

MIRR = 15.98%

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