投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €1 000 を 16 年間支払います。利率は年 8% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €1 000i = 8%n = 16

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

14 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2006% / 12N = 168

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 2.5%n = 3

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、8 年後に満期を迎えます。価格は €1 173 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6% (2×)n = 8P = €1 173

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 4%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €26.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 4%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。

β = 1.5r_f = 4%r_m = 8%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €40 000 です。8 年間、毎年末に €7 500 を生み、その後 €4 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €40 000CF = €7 500S = €4 000n = 8r = 12%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €26 500, €20 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 26 500CF₂ = 20 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 8851 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.2919)/0.08 = 8.851

現在価値

PV = 1 000·8.851 = €8 851.37

答え

PV = €8 851.37

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 52461 €

月利と積立回数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·14 = 168

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2.312 − 1)/0.005 = €52 460.95

答え

FV = €52 460.95

自分で払い込んだのは €33 600。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1043 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €20.00, i = 0.0125, N = 6

クーポンの現在価値

€20.00·(1 − 0.9282)/0.0125 = €114.92

額面の現在価値

€1 000·0.9282 = €928.17

価格

P = €1 043.10

答え

P = €1 043.10

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.502 %

1 期あたり

C = €30.00, N = 16

数値的に解く

i = 1.751% 半年あたり

YTM

YTM = 2·1.751% = 3.502%

答え

YTM = 3.502%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.4 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·14% + 0.5·4%·(1 − 0.3) = 8.4%

答え

WACC = 8.4%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.164 %

時価

E = 2 500 000·€26.50 = €66 250 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 4% + 1.5·4% = 10%

ウェイト

V = €87 250 000, E/V = 0.7593, D/V = 0.2407

WACC

WACC = 0.7593·10% + 0.2407·3%·(1 − 0.21) = 8.164%

答え

WACC = 8.164%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −1127 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

7 500·4.968 = 37 257.30

残存価値の現在価値

4 000/2.476 = 1 615.53

NPV

NPV = −40 000 + 37 257.30 + 1 615.53 = −€1 127.17

答え

NPV = −€1 127.17

8.NPV と IRR

答え: IRR = 12.01 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 1 033.06

NPV(15%) = −1 455.58

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·1 033.06/(1 033.06 − (−1 455.58)) = 12.08%

正確な値: NPV(12.01%) = 0 → IRR = 12.01%

答え

IRR = 12.01%

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