投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€10 000 を年 3%、連続複利で投資します。8 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €10 000r = 3%t = 8

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

7 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €3005.4% / 12N = 84

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、13 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3% から 5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 2%n = 13y₁ = 3%y₂ = 5%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 6 年後に満期を迎え、€925 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 6P = €925

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.2 です。負債資本比率を 0.75 に引き上げる計画です。税率は 25%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 6.5% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.2D/E₁ = 0.4D/E₂ = 0.75T = 25%r_f = 3%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €11 500, €12 000, €7 000, €10 000 を生みます。資本コストは 6% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 500CF₂ = 12 000CF₃ = 7 000CF₄ = 10 000

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €12 000, €12 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 12712 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.03·8 = 0.24

e^0.24 = 1.271

将来価値

FV = 10 000·1.271 = €12 712.49

答え

FV = €12 712.49

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 30542 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·7 = 84

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.458 − 1)/0.0045 = €30 541.73

答え

FV = €30 541.73

自分で払い込んだのは €25 200。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = −175.5 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €20.00, i = 0.03, N = 13

€20.00·(1 − 0.681)/0.03 + €1 000·0.681 = €212.70 + €680.95 = €893.65

新しい利回りでの価格

C = €20.00, i = 0.05, N = 13

€20.00·(1 − 0.5303)/0.05 + €1 000·0.5303 = €187.87 + €530.32 = €718.19

変化

ΔP = 718.19 − 893.65 = −€175.46

答え

ΔP = −€175.46

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 4.452 %

利回りの方程式

€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数値的に解く

P(4%) = €947.58, P(5%) = €898.49

YTM = 4.452%

答え

YTM = 4.452%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.383 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·8% + 0.5·3.5%·(1 − 0.21) = 5.383%

答え

WACC = 5.383%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 12.38 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.2/(1 + 0.75·0.4) = 0.9231

新しい D/E でリレバーする

β_L = 0.9231·(1 + 0.75·0.75) = 1.442

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 1.442·6.5% = 12.38%

答え

r_e = 12.38%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 3.327 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 11 500/1.06 = 10 849.06 → Σ = 10 849.06

年度 2: 12 000/1.124 = 10 679.96 → Σ = 21 529.01

年度 3: 7 000/1.191 = 5 877.33 → Σ = 27 406.35

年度 4: 10 000/1.262 = 7 920.94 → Σ = 35 327.29

最後の年の端数

DPB = 3 + 2 593.65/7 920.94 = 3.327

答え

DPB = 3.327 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（2.929 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 14.56 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 1 239.67

NPV(15%) = −113.42

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·1 239.67/(1 239.67 − (−113.42)) = 14.58%

正確な値: NPV(14.56%) = 0 → IRR = 14.56%

答え

IRR = 14.56%

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