1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、月複利で €3 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0003% / 12n = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
9 年間、毎年初めに €2 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。9 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €2 000i = 7%n = 9
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5.5% から 4% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 8y1 = 5.5%y2 = 4%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 16 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）が €1 326 で売られています。発行者は 4 年後に €1 050 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%P = €1 326繰上償還価格 = €1 050繰上償還まで 4 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 1.5 です。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
D/E = 1.5re = 13%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €5 000 000、株主資本コストは 11% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 8 年）からなり、1 枚 €905 で取引されています。税率は 28% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €5 000 000re = 11%債券: 2 000 × €905クーポンレート = 4%n = 8T = 28%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€24 000, €21 000, €27 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −60 000CF1 = 24 000CF2 = 21 000CF3 = 27 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €33 000, €32 000, €20 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 33 000CF2 = 32 000CF3 = 20 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 3382 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·4 = 48
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.0025)48 = 3 000·1.127 = €3 381.98
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 25633 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.07)9 − 1)/0.07 = 11.98
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 2 000·11.98·1.07 = €25 632.90
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 99 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €50.00, i = 0.055, N = 8
€50.00·(1 − 0.6516)/0.055 + €1 000·0.6516 = €316.73 + €651.60 = €968.33
新しい利回りでの価格
C = €50.00, i = 0.04, N = 8
€50.00·(1 − 0.7307)/0.04 + €1 000·0.7307 = €336.64 + €730.69 = €1 067.33
変化
ΔP = 1 067.33 − 968.33 = €99.00
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 50 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1326 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
数値的に解く
y = 50%: €287.65
y = 50%: €287.65
YTC = 50%
最終利回りは 2.502% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.225 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4
D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6
WACC
WACC = 0.4·13% + 0.6·4.5%·(1 − 0.25) = 7.225%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.129 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
905 = 40·(1 − (1 + y)−8)/y + 1000/(1 + y)8
y = 5.5%
時価
D = 2 000·€905 = €1 810 000
V = €6 810 000, E/V = 0.7342, D/V = 0.2658
WACC
WACC = 0.7342·11% + 0.2658·5.5%·(1 − 0.28) = 9.129%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 5228 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 24 000/1.05 = 22 857.14
CF2/(1 + 0.05)2 = 21 000/1.103 = 19 047.62
CF3/(1 + 0.05)3 = 27 000/1.158 = 23 323.62
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 35.21 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(35%) = 131.59
NPV(40%) = −2 813.41
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 35 + 5·131.59/(131.59 − (−2 813.41)) = 35.22%
正確な値: NPV(35.21%) = 0 → IRR = 35.21%