1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 6.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €20 000g = 1.5%r = 6.5%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 5.4%、月複利で €25 000 を借り、毎月末に €500 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €25 000A = €5005.4% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 3 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5% のとき €986 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 3P = €986YTM = 5%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 10 年後に満期を迎え、€880 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 10P = €880
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 4%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €2 000 000re = 11%rd = 4%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.4 です。負債資本比率を 1 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 6.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.4D/E1 = 0.4D/E2 = 1T = 25.8%rf = 1%rm − rf = 6.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000 です。5 年間、毎年末に €11 000 を生み、その後 €5 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF = €11 000S = €5 000n = 5r = 10%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €16 500 で、10 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €150 000CF1 = €16 500g = 5%n = 10r = 12%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 400000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 20 000/(0.065 − 0.015) = 20 000/0.05 = €400 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: N = 57 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.0045
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0.0045/500 = 0.775
対数を使って解く
N = −ln(0.775)/ln(1.004) = 56.77
返済回数を整数に切り上げる
56 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: c = 4.486 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.05)−3 = €863.84
クーポン
C = (986 − 863.84)/2.723 = €44.86
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.518 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€880 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(4%) = €918.89, P(5%) = €845.57
YTM = 4.518%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.752 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €5 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4
WACC
WACC = 0.6·11% + 0.4·4%·(1 − 0.28) = 7.752%
6.CAPM と WACC
答え: re = 13.22 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.4/(1 + 0.742·0.4) = 1.08
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.08·(1 + 0.742·1) = 1.881
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.881·6.5% = 13.22%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −5197 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −50 000 + 41 698.65 + 3 104.61 = −€5 196.74
8.NPV と IRR
答え: NPV = −37909 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.12))10 = 0.5245
PV = 16 500/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.5245) = 112 091.46
NPV
NPV = 112 091.46 − 150 000 = −€37 908.54
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。