1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €5 000 を 5 年間支払います。利率は年 3% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €5 000i = 3%n = 5
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを、年 6%、月複利で 6 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €15 0006% / 12N = 72
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3% から 3.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 11y1 = 3%y2 = 3.5%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 065 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 9P = €1 065
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.4 です。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.4re = 13%rd = 4%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €55.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.8rf = 2%rm = 8.5%rd = 4.5%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €400 000 です。1 年目の末に €32 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 1% ずつ増加します。資本コストは 11% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €400 000CF1 = €32 000g = 1%r = 11%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €16 000, €8 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €45 000 で、€11 500, €17 500, €26 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −40 000, 23 000, 16 000, 8 000B: −45 000, 11 500, 17 500, 26 000
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 22899 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.8626)/0.03 = 4.58
現在価値
PV = 5 000·4.58 = €22 898.54
2.貨幣の時間価値
答え: I = 2899 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.005, N = 72
A = 15 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−72) = €248.59
利息の総額
I = N·A − P = 72·248.6 − 15 000 = €2 898.72
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −52.54 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.03, N = 11
€60.00·(1 − 0.7224)/0.03 + €1 000·0.7224 = €555.16 + €722.42 = €1 277.58
新しい利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.035, N = 11
€60.00·(1 − 0.6849)/0.035 + €1 000·0.6849 = €540.09 + €684.95 = €1 225.04
変化
ΔP = 1 225.04 − 1 277.58 = −€52.54
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.002 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 065 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(7%) = €1 065.15, P(8%) = €1 000.00
YTM = 7.002%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.2 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143
D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857
WACC
WACC = 0.7143·13% + 0.2857·4%·(1 − 0.2) = 10.2%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.024 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€55.00 = €220 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 0.8·6.5% = 7.2%
ウェイト
V = €230 000 000, E/V = 0.9565, D/V = 0.04348
WACC
WACC = 0.9565·7.2% + 0.04348·4.5%·(1 − 0.3) = 7.024%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −80000 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 32 000/(0.11 − 0.01) = 320 000.00
NPV
NPV = 320 000.00 − 400 000 = −€80 000.00
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: r* = 7.774 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 11 500 − 23 000 = −11 500
ΔCF2 = 17 500 − 16 000 = 1 500
ΔCF3 = 26 000 − 8 000 = 18 000
差の IRR
NPVΔ(7%) = 255.86
NPVΔ(8%) = −73.16
r* = 7.774%
確認：7.774% では両方の NPV が €1 506.68 です。