1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€2 000 を年 5%、連続複利で投資します。15 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 000r = 5%t = 15
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€25 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €25 0004.2% / 12N = 48
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 5% のときに、残存期間 12 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 4% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 12y0 = 5%y1 = 4%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 050 で取引され、最終利回りは 7%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 3.9 年です。利回りが 100 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 050y = 7%D = 3.9Δy = −100 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €5 000 000、負債の価値は €5 000 000 です。WACC は 5.69%、税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €5 000 000D = €5 000 000WACC = 5.69%rd = 3%T = 21%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 5 000 000 株で、€31.00 で取引されています。株主資本の簿価は €46 500 000 です。1 株あたり €1.00 の配当を支払ったところで、配当は年 5% 成長します。負債の時価は €46 500 000、税引前コストは 5% です。税率は 25.8% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 5 000 000P0 = €31.00株主資本の簿価 = €46 500 000D0 = €1.00g = 5%D = €46 500 000rd = 5%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€28 000, €26 000, €23 000, €26 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −75 000CF1 = 28 000CF2 = 26 000CF3 = 23 000CF4 = 26 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €55 000 で、4 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €200 000CF1 = €55 000g = 4%n = 4r = 8%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 4234 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.05·15 = 0.75
e0.75 = 2.117
将来価値
FV = 2 000·2.117 = €4 234.00
2.貨幣の時間価値
答え: A = 566.7 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·4 = 48
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8456
A = 25 000·0.0035/(1 − 0.8456) = €566.72
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 13.46 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €60.00, i = 0.05, N = 12
€60.00·(1 − 0.5568)/0.05 + €1 000·0.5568 = €531.80 + €556.84 = €1 088.63
売却価格
C = €60.00, i = 0.04, N = 11
€60.00·(1 − 0.6496)/0.04 + €1 000·0.6496 = €525.63 + €649.58 = €1 175.21
保有期間利回り
HPR = (60 + 1 175.21 − 1 088.63)/1 088.63 = 13.46%
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1088 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −3.645·(−0.01) = 3.645%
P ≈ 1050·(1 + 0.03645) = €1 088.27
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: re = 9.01 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC の負債の部分
0.5·3%·(1 − 0.21) = 1.185%
株主資本コスト
re = (5.69% − 1.185%)/0.5 = 9.01%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.308 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1·1.05 = €1.05
re = 1.05/31 + 0.05 = 8.387%
時価
E = 5 000 000·€31.00 = €155 000 000
V = €201 500 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·8.387% + 0.2308·5%·(1 − 0.258) = 7.308%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 3621 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 28 000/1.12 = 25 000.00
CF2/(1 + 0.12)2 = 26 000/1.254 = 20 727.04
CF3/(1 + 0.12)3 = 23 000/1.405 = 16 370.95
CF4/(1 + 0.12)4 = 26 000/1.574 = 16 523.47
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −7336 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.04)/(1.08))4 = 0.8599
PV = 55 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.8599) = 192 663.67
NPV
NPV = 192 663.67 − 200 000 = −€7 336.33
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。