1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 15%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 15%m = 4
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
17 年間、毎年初めに €3 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。17 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €3 000i = 7%n = 17
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 9% のとき €950 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 7P = €950YTM = 9%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 6 年後に満期を迎え、€900 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 6P = €900
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 3.5%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €42.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 4%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 1.8rf = 4%rm = 9%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000 です。3 年間、毎年末に €15 000 を生み、その後 €6 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €40 000CF = €15 000S = €6 000n = 3r = 8%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €8 500, €13 500, €8 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 8 500CF2 = 13 500CF3 = 8 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 15.87 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0375)4 − 1 = 1.159 − 1 = 15.87%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 98997 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.07)17 − 1)/0.07 = 30.84
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 3 000·30.84·1.07 = €98 997.10
3.債券の価格と利回り
答え: c = 8.007 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.09)−7 = €547.03
クーポン
C = (950 − 547.03)/5.033 = €80.07
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.968 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€900 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(4%) = €947.58, P(5%) = €898.49
YTM = 4.968%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.508 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846
WACC
WACC = 0.6154·9% + 0.3846·3.5%·(1 − 0.28) = 6.508%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.93 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€42.00 = €84 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
ウェイト
V = €94 000 000, E/V = 0.8936, D/V = 0.1064
WACC
WACC = 0.8936·13% + 0.1064·4%·(1 − 0.258) = 11.93%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 3419 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −40 000 + 38 656.45 + 4 762.99 = €3 419.45
8.NPV と IRR
答え: IRR = 23.44 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 1 087.96
NPV(25%) = −464.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·1 087.96/(1 087.96 − (−464.00)) = 23.51%
正確な値: NPV(23.44%) = 0 → IRR = 23.44%