1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
9 年後に €40 000 が必要です。口座の利率は年 2%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €40 0002% / 4n = 9
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€300 000 の住宅ローンを、年 4.2%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。2 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €300 0004.2% / 12N = 240k = 24
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 6% のときに、残存期間 8 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 6.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 8y0 = 6%y1 = 6.5%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは 6% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 3YTM = 6%
D = 年
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 5%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 5%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 0.9 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 0.9D/E1 = 0.5D/E2 = 0.6T = 25.8%rf = 1.5%rm − rf = 4.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€20 000, €10 000, €12 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −45 000CF1 = 20 000CF2 = 10 000CF3 = 12 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €6 000, €4 000, €2 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 000, €6 000, €8 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 000, 6 000, 8 000
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 33426 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.02/4 = 0.005
N = 4·9 = 36
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1.197 = €33 425.80
2.貨幣の時間価値
答え: B = 280014 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0035, N = 240
A = 300 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−240) = €1 849.71
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 24 = 216
B = 1850·(1 − (1 + 0.0035)−216)/0.0035 = €280 014.19
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 3.326 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €70.00, i = 0.06, N = 8
€70.00·(1 − 0.6274)/0.06 + €1 000·0.6274 = €434.69 + €627.41 = €1 062.10
売却価格
C = €70.00, i = 0.065, N = 7
€70.00·(1 − 0.6435)/0.065 + €1 000·0.6435 = €383.92 + €643.51 = €1 027.42
保有期間利回り
HPR = (70 + 1 027.42 − 1 062.10)/1 062.10 = 3.326%
4.債券の価格と利回り
答え: D = 2.857 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 50/1.06 = 47.17, t·PV = 47.17
t = 2: 50/1.124 = 44.50, t·PV = 89.00
t = 3: 1050/1.191 = 881.60, t·PV = 2 644.80
デュレーション
P = 973.27
D = 2 780.97/973.27 = 2.857
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.194 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.4444, D/V = 0.5556
WACC
WACC = 0.4444·9% + 0.5556·5%·(1 − 0.21) = 6.194%
6.CAPM と WACC
答え: re = 5.769 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 0.9/(1 + 0.742·0.5) = 0.6565
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.6565·(1 + 0.742·0.6) = 0.9487
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 0.9487·4.5% = 5.769%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −7157 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 20 000/1.06 = 18 867.92
CF2/(1 + 0.06)2 = 10 000/1.124 = 8 899.96
CF3/(1 + 0.06)3 = 12 000/1.191 = 10 075.43
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: r* = 5.567 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 6 000 = −2 000
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 000 = 6 000
差の IRR
NPVΔ(5%) = 92.32
NPVΔ(6%) = −69.08
r* = 5.567%
確認：5.567% では両方の NPV が €972.77 です。