投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€2 000 を年 4%、連続複利で投資します。4 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 000r = 4%t = 4

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

26 年間、毎月末に €150 を積み立てます。口座の利率は年 3.6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €1503.6% / 12N = 312

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 3.5% のときに、残存期間 12 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 2.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 12y₀ = 3.5%y₁ = 2.5%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、8 年後に満期を迎えます。価格は €1 272 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8% (2×)n = 8P = €1 272

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1.5 です。負債資本比率を 1.5 に引き上げる計画です。税率は 21%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 4% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.5D/E₁ = 0.5D/E₂ = 1.5T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €8 000, €4 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 8 000CF₃ = 4 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €25 500, €28 500, €27 500, €24 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 25 500CF₂ = 28 500CF₃ = 27 500CF₄ = 24 500

MIRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 2347 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.04·4 = 0.16

e^0.16 = 1.174

将来価値

FV = 2 000·1.174 = €2 347.02

答え

FV = €2 347.02

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 77310 €

月利と積立回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·26 = 312

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2.546 − 1)/0.003 = €77 309.59

答え

FV = €77 309.59

自分で払い込んだのは €46 800。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = 12.48 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €50.00, i = 0.035, N = 12

€50.00·(1 − 0.6618)/0.035 + €1 000·0.6618 = €483.17 + €661.78 = €1 144.95

売却価格

C = €50.00, i = 0.025, N = 11

€50.00·(1 − 0.7621)/0.025 + €1 000·0.7621 = €475.71 + €762.14 = €1 237.86

保有期間利回り

HPR = (50 + 1 237.86 − 1 144.95)/1 144.95 = 12.48%

答え

HPR = 12.48%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.994 %

1 期あたり

C = €40.00, N = 16

数値的に解く

i = 1.997% 半年あたり

YTM

YTM = 2·1.997% = 3.994%

答え

YTM = 3.994%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.14 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·14% + 0.375·5%·(1 − 0.258) = 10.14%

答え

WACC = 10.14%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 10.4 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.5/(1 + 0.79·0.5) = 1.075

新しい D/E でリレバーする

β_L = 1.075·(1 + 0.79·1.5) = 2.349

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 2.349·4% = 10.4%

答え

r_e = 10.4%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −3495 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 9 000/1.15 = 7 826.09

CF₂/(1 + 0.15)² = 8 000/1.322 = 6 049.15

CF₃/(1 + 0.15)³ = 4 000/1.521 = 2 630.06

合計する

NPV = €−3 494.70

答え

NPV = €−3 494.70

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: MIRR = 24.35 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

25 500·1.08³ = 32 122.66

28 500·1.08² = 33 242.40

27 500·1.08¹ = 29 700.00

24 500·1.08⁰ = 24 500.00

TV = 119 565.06

MIRR

MIRR = (119 565.06/50 000)^1/4 − 1 = 24.35%

答え

MIRR = 24.35%

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