1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€20 000 を年 5%、連続複利で投資します。15 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 000r = 5%t = 15
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
24 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €3004.8% / 12N = 288
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 4%n = 7
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 030 で取引され、最終利回りは 5%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 3.6 年です。利回りが 100 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 030y = 5%D = 3.6Δy = +100 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €10 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €5 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 4.5% です。税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €10 000 000Ps = €1 000 000D = €5 000 000re = 9%rp = 7%rd = 4.5%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 1 000 000 株で、€29.50 で取引されています。株主資本の簿価は €11 800 000 です。1 株あたり €2.10 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €14 800 000、税引前コストは 5% です。税率は 20% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 1 000 000P0 = €29.50株主資本の簿価 = €11 800 000D0 = €2.10g = 4%D = €14 800 000rd = 5%T = 20%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€14 000, €14 000, €10 000, €19 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −45 000CF1 = 14 000CF2 = 14 000CF3 = 10 000CF4 = 19 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €22 500, €20 000, €19 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 20 000CF3 = 19 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 42340 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.05·15 = 0.75
e0.75 = 2.117
将来価値
FV = 20 000·2.117 = €42 340.00
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 161794 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·24 = 288
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(3.157 − 1)/0.004 = €161 793.92
自分で払い込んだのは €86 400。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1061 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.02, N = 14
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.7579)/0.02 = €302.66
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 994.7 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −3.429·(0.01) = −3.429%
P ≈ 1030·(1 − 0.03429) = €994.69
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.173 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 10 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €16 000 000
E/V = 0.625, Ps/V = 0.0625, D/V = 0.3125
WACC
WACC = 0.625·9% + 0.0625·7% + 0.3125·4.5%·(1 − 0.21) = 7.173%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.93 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2.1·1.04 = €2.18
re = 2.184/29.5 + 0.04 = 11.4%
時価
E = 1 000 000·€29.50 = €29 500 000
V = €44 300 000, E/V = 0.6659, D/V = 0.3341
WACC
WACC = 0.6659·11.4% + 0.3341·5%·(1 − 0.2) = 8.93%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 2970 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 14 000/1.07 = 13 084.11
CF2/(1 + 0.07)2 = 14 000/1.145 = 12 228.14
CF3/(1 + 0.07)3 = 10 000/1.225 = 8 162.98
CF4/(1 + 0.07)4 = 19 000/1.311 = 14 495.01
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 26.36 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(25%) = 784.00
NPV(30%) = −1 982.25
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 25 + 5·784.00/(784.00 − (−1 982.25)) = 26.42%
正確な値: NPV(26.36%) = 0 → IRR = 26.36%