1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 2%、四半期複利で €3 000 を投資します。7 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0002% / 4n = 7
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
21 年間、毎年初めに €3 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 6% です。21 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €3 000i = 6%n = 21
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 8%n = 6
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 025 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 11.9 年です。利回りが 100 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 025y = 4%D = 11.9Δy = −100 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 3%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €5 000 000re = 14%rd = 3%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.2 です。負債資本比率を 0.4 にする計画です。税率は 20%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 5.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1.2D/E = 0.4T = 20%rf = 1%rm − rf = 5.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€22 000, €23 000, €15 000, €18 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −60 000CF1 = 22 000CF2 = 23 000CF3 = 15 000CF4 = 18 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 000, €8 000, €4 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €22 000 で、€6 000, €8 500, €11 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −20 000, 11 000, 8 000, 4 500B: −22 000, 6 000, 8 500, 11 500
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 3450 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.02/4 = 0.005
N = m·n = 4·7 = 28
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.005)28 = 3 000·1.15 = €3 449.62
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 127177 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.06)21 − 1)/0.06 = 39.99
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 3 000·39.99·1.06 = €127 176.87
3.債券の価格と利回り
答え: P = 812.3 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.04, N = 12
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.6246)/0.04 = €187.70
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1142 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −11.44·(−0.01) = 11.44%
P ≈ 1025·(1 + 0.1144) = €1 142.28
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.543 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143
WACC
WACC = 0.2857·14% + 0.7143·3%·(1 − 0.28) = 5.543%
6.CAPM と WACC
答え: re = 9.712 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1.2·(1 + 0.8·0.4) = 1.584
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.584·5.5% = 9.712%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −3324 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 22 000/1.15 = 19 130.43
CF2/(1 + 0.15)2 = 23 000/1.322 = 17 391.30
CF3/(1 + 0.15)3 = 15 000/1.521 = 9 862.74
CF4/(1 + 0.15)4 = 18 000/1.749 = 10 291.56
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: r* = 3.155 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 000 − 11 000 = −5 000
ΔCF2 = 8 500 − 8 000 = 500
ΔCF3 = 11 500 − 4 500 = 7 000
差の IRR
NPVΔ(3%) = 22.92
NPVΔ(4%) = −122.44
r* = 3.155%
確認：3.155% では両方の NPV が €2 281.37 です。