1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
4 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €25 0004.8% / 4n = 4
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
24 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €3006% / 12N = 288
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 9 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 3% のとき €1 156 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 9P = €1 156YTM = 3%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 100 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 6P = €1 100
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €8 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €6 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 12%、優先株のコストは 6%、税引前負債コストは 6% です。税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000Ps = €1 000 000D = €6 000 000re = 12%rp = 6%rd = 6%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €51.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 2.5%rm = 8.5%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €400 000 です。1 年目の末に €26 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 3% ずつ増加します。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €400 000CF1 = €26 000g = 3%r = 9%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €6 000, €4 000, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 500, €6 500, €8 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 500, 6 500, 8 500
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 20656 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.048/4 = 0.012
N = 4·4 = 16
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1.21 = €20 656.27
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 192335 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·24 = 288
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(4.206 − 1)/0.005 = €192 334.73
自分で払い込んだのは €86 400。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: c = 5.004 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.03)−9 = €766.42
クーポン
C = (1156 − 766.42)/7.786 = €50.04
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.028 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 100 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(5%) = €1 101.51, P(6%) = €1 049.17
YTM = 5.028%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.72 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 8 000 000 + 1 000 000 + 6 000 000 = €15 000 000
E/V = 0.5333, Ps/V = 0.06667, D/V = 0.4
WACC
WACC = 0.5333·12% + 0.06667·6% + 0.4·6%·(1 − 0.2) = 8.72%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.484 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€51.00 = €127 500 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.1·6% = 9.1%
ウェイト
V = €166 700 000, E/V = 0.7648, D/V = 0.2352
WACC
WACC = 0.7648·9.1% + 0.2352·3%·(1 − 0.258) = 7.484%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 33333 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 26 000/(0.09 − 0.03) = 433 333.33
NPV
NPV = 433 333.33 − 400 000 = €33 333.33
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: r* = 11.46 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 500 − 6 000 = −1 500
ΔCF2 = 6 500 − 4 000 = 2 500
ΔCF3 = 8 500 − 2 500 = 6 000
差の IRR
NPVΔ(11%) = 64.85
NPVΔ(12%) = −75.62
r* = 11.46%
確認：11.46% では両方の NPV が €408.70 です。