1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 5%、月複利で €12 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0005% / 12n = 10
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 7.2%、月複利で €10 000 を借り、毎月末に €150 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €10 000A = €1507.2% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 3.5%n = 11
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 080 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 7.2 年です。利回りが 100 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 080y = 4%D = 7.2Δy = +100 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €5 000 000、負債の価値は €1 000 000 です。WACC は 8.96%、税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €5 000 000D = €1 000 000WACC = 8.96%rd = 5%T = 25%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €39.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 2.5%rm = 9%rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、4 年間、毎年末に €11 000 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 10%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 11 000CF3 = 11 000CF4 = 11 000
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €15 500, €9 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €42 000 で、€11 000, €18 000, €23 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −40 000, 23 000, 15 500, 9 500B: −42 000, 11 000, 18 000, 23 000
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 19764 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.05/12 = 0.004167
N = m·n = 12·10 = 120
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.004167)120 = 12 000·1.647 = €19 764.11
2.貨幣の時間価値
答え: N = 86 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.006
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0.006/150 = 0.6
対数を使って解く
N = −ln(0.6)/ln(1.006) = 85.39
返済回数を整数に切り上げる
85 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1317 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €35.00, i = 0.0175, N = 22
クーポンの現在価値
€35.00·(1 − 0.6827)/0.0175 = €634.56
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1005 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −6.923·(0.01) = −6.923%
P ≈ 1080·(1 − 0.06923) = €1 005.23
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: re = 10 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667
WACC の負債の部分
0.1667·5%·(1 − 0.25) = 0.625%
株主資本コスト
re = (8.96% − 0.625%)/0.8333 = 10%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.06 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€39.50 = €39 500 000
D = 5 000·€1 050 = €5 250 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.3·6.5% = 10.95%
ウェイト
V = €44 750 000, E/V = 0.8827, D/V = 0.1173
WACC
WACC = 0.8827·10.95% + 0.1173·4.5%·(1 − 0.258) = 10.06%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 3.352 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 11 000/1.1 = 10 000.00 → Σ = 10 000.00
年度 2: 11 000/1.21 = 9 090.91 → Σ = 19 090.91
年度 3: 11 000/1.331 = 8 264.46 → Σ = 27 355.37
年度 4: 11 000/1.464 = 7 513.15 → Σ = 34 868.52
最後の年の端数
DPB = 3 + 2 644.63/7 513.15 = 3.352
割引回収期間は、常に単純回収期間（2.727 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: r* = 6.954 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 11 000 − 23 000 = −12 000
ΔCF2 = 18 000 − 15 500 = 2 500
ΔCF3 = 23 000 − 9 500 = 13 500
差の IRR
NPVΔ(6%) = 239.10
NPVΔ(7%) = −11.34
r* = 6.954%
確認：6.954% では両方の NPV が €2 819.51 です。