1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 19.5%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 19.5%m = 2
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを、年 6%、月複利で 4 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €20 0006% / 12N = 48
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 15 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 7% のとき €909 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 15P = €909YTM = 7%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 6 年後に満期を迎え、€955 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 6P = €955
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €1 000 000re = 14%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €51.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。株式のベータは 0.6、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 9.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.6rf = 3.5%rm = 9.5%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €100 000 です。6 年間、毎年末に €16 500 を生み、その後 €10 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF = €16 500S = €10 000n = 6r = 10%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €50 000 で、4 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €200 000CF1 = €50 000g = 4%n = 4r = 12%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 20.45 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0975)2 − 1 = 1.205 − 1 = 20.45%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: I = 2546 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.005, N = 48
A = 20 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−48) = €469.70
利息の総額
I = N·A − P = 48·469.7 − 20 000 = €2 545.63
3.債券の価格と利回り
答え: c = 6.001 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.07)−15 = €362.45
クーポン
C = (909 − 362.45)/9.108 = €60.01
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.973 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€955 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(7%) = €1 000.00, P(8%) = €953.77
YTM = 7.973%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.06 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €3 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·14% + 0.3333·7%·(1 − 0.258) = 11.06%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.55 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€51.50 = €206 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 0.6·6% = 7.1%
ウェイト
V = €244 400 000, E/V = 0.8429, D/V = 0.1571
WACC
WACC = 0.8429·7.1% + 0.1571·4.5%·(1 − 0.2) = 6.55%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −22493 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −100 000 + 71 861.80 + 5 644.74 = −€22 493.46
8.NPV と IRR
答え: NPV = −39666 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.04)/(1.12))4 = 0.7435
PV = 50 000/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.7435) = 160 333.58
NPV
NPV = 160 333.58 − 200 000 = −€39 666.42
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。