1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4.8%、月複利で €5 000 を投資します。5 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €5 0004.8% / 12n = 5
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €150 0003.6% / 12N = 300
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 3.5%n = 4
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 13 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 9%）が €1 122 で売られています。発行者は 5 年後に €1 090 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 9%P = €1 122繰上償還価格 = €1 090繰上償還まで 5 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.4 です。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.4re = 10%rd = 6%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 0.9 です。負債資本比率を 1 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 0.9D/E1 = 0.4D/E2 = 1T = 28%rf = 3%rm − rf = 5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €10 000, €7 000, €6 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 10 000CF3 = 7 000CF4 = 6 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €10 500, €10 000, €17 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 10 500CF2 = 10 000CF3 = 17 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 6353 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.048/12 = 0.004
N = m·n = 12·5 = 60
将来価値
FV = 5 000·(1 + 0.004)60 = 5 000·1.271 = €6 353.20
2.貨幣の時間価値
答え: A = 759 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·25 = 300
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.4071
A = 150 000·0.003/(1 − 0.4071) = €759.00
3.債券の価格と利回り
答え: P = 944.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0175, N = 8
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.8704)/0.0175 = €74.05
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 7.531 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1122 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
数値的に解く
y = 7%: €1 146.17
y = 8%: €1 101.18
YTC = 7.531%
最終利回りは 7.499% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.514 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143
D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857
WACC
WACC = 0.7143·10% + 0.2857·6%·(1 − 0.2) = 8.514%
6.CAPM と WACC
答え: re = 9.009 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 0.9/(1 + 0.72·0.4) = 0.6988
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.6988·(1 + 0.72·1) = 1.202
株主資本コスト（CAPM）
re = 3% + 1.202·5% = 9.009%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 8020 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 9 000/1.06 = 8 490.57
CF2/(1 + 0.06)2 = 10 000/1.124 = 8 899.96
CF3/(1 + 0.06)3 = 7 000/1.191 = 5 877.33
CF4/(1 + 0.06)4 = 6 000/1.262 = 4 752.56
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 21.25 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 532.41
NPV(25%) = −1 496.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·532.41/(532.41 − (−1 496.00)) = 21.31%
正確な値: NPV(21.25%) = 0 → IRR = 21.25%