投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 5%、四半期複利で €5 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €5 0005% / 4n = 10

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを 20 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €200 0004.2% / 12N = 240

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りが 9% から 8.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 8y₁ = 9%y₂ = 8.5%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 7 年後に満期を迎え、€905 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 7P = €905

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 0.5 です。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。

D/E = 0.5r_e = 10%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €43.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 1%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。

β = 0.8r_f = 1%r_m = 7%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €8 000, €10 000, €11 000, €13 500 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 10 000CF₃ = 11 000CF₄ = 13 500

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €18 000, €25 000, €26 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 25 000CF₃ = 26 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 8218 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.05/4 = 0.0125

N = m·n = 4·10 = 40

将来価値

FV = 5 000·(1 + 0.0125)⁴⁰ = 5 000·1.644 = €8 218.10

答え

FV = €8 218.10

2.貨幣の時間価値

答え: A = 1233 €

月利と返済回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·20 = 240

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.4323

A = 200 000·0.0035/(1 − 0.4323) = €1 233.14

答え

A = €1 233.14

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 21.93 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €30.00, i = 0.09, N = 8

€30.00·(1 − 0.5019)/0.09 + €1 000·0.5019 = €166.04 + €501.87 = €667.91

新しい利回りでの価格

C = €30.00, i = 0.085, N = 8

€30.00·(1 − 0.5207)/0.085 + €1 000·0.5207 = €169.18 + €520.67 = €689.84

変化

ΔP = 689.84 − 667.91 = €21.93

答え

ΔP = €21.93

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 9.948 %

利回りの方程式

€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数値的に解く

P(9%) = €949.67, P(10%) = €902.63

YTM = 9.948%

答え

YTM = 9.948%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.867 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·10% + 0.3333·5%·(1 − 0.28) = 7.867%

答え

WACC = 7.867%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.724 %

時価

E = 4 000 000·€43.50 = €174 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 0.8·6% = 5.8%

ウェイト

V = €178 800 000, E/V = 0.9732, D/V = 0.02685

WACC

WACC = 0.9732·5.8% + 0.02685·4%·(1 − 0.258) = 5.724%

答え

WACC = 5.724%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 3.672 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 8 000/1.1 = 7 272.73 → Σ = 7 272.73

年度 2: 10 000/1.21 = 8 264.46 → Σ = 15 537.19

年度 3: 11 000/1.331 = 8 264.46 → Σ = 23 801.65

年度 4: 13 500/1.464 = 9 220.68 → Σ = 33 022.33

最後の年の端数

DPB = 3 + 6 198.35/9 220.68 = 3.672

答え

DPB = 3.672 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.074 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 31.16 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(30%) = 700.96

NPV(35%) = −2 178.53

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 30 + 5·700.96/(700.96 − (−2 178.53)) = 31.22%

正確な値: NPV(31.16%) = 0 → IRR = 31.16%

答え

IRR = 31.16%

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