1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
8 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €50 0003% / 4n = 8
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€25 000 のローンを、年 3%、月複利で 5 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €25 0003% / 12N = 60
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 2.5%n = 4
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 8 年後に満期を迎え、€920 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 8P = €920
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €4 000 000re = 14%rd = 7%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.7 です。負債資本比率を 0.4 にする計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 4% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.7D/E = 0.4T = 25.8%rf = 2.5%rm − rf = 4%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €100 000 です。8 年間、毎年末に €16 500 を生み、その後 €10 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF = €16 500S = €10 000n = 8r = 10%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €30 000 で、6 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €150 000CF1 = €30 000g = 2%n = 6r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 39367 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.03/4 = 0.0075
N = 4·8 = 32
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.27 = €39 366.63
2.貨幣の時間価値
答え: I = 1953 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0025, N = 60
A = 25 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−60) = €449.22
利息の総額
I = N·A − P = 60·449.2 − 25 000 = €1 953.04
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1057 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0125, N = 8
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.9054)/0.0125 = €151.36
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.471 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€920 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
数値的に解く
P(9%) = €944.65, P(10%) = €893.30
YTM = 9.471%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.01 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €12 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·14% + 0.3333·7%·(1 − 0.28) = 11.01%
6.CAPM と WACC
答え: re = 6.131 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.7·(1 + 0.742·0.4) = 0.9078
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 0.9078·4% = 6.131%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −7309 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −100 000 + 88 026.28 + 4 665.07 = −€7 308.64
8.NPV と IRR
答え: NPV = −13383 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.02)/(1.1))6 = 0.6357
PV = 30 000/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.6357) = 136 616.50
NPV
NPV = 136 616.50 − 150 000 = −€13 383.50
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。