投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €3 000 を 20 年間支払います。利率は年 5% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €3 000i = 5%n = 20

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

12 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2004.2% / 12N = 144

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りが 4% から 3% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 7y₁ = 4%y₂ = 3%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 9 年後に満期を迎え、€935 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 9P = €935

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.4 の株式の要求収益率は 11.9% です。無リスク金利は 3.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.4r_e = 11.9%r_f = 3.5%

r_m = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €45.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 2%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。

β = 1.1r_f = 2%r_m = 6%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €30 000、耐用年数は 4 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €30 000M = €4 000n = 4r = 12%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €5 000, €6 000, €6 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 6 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 37387 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3769)/0.05 = 12.46

現在価値

PV = 3 000·12.46 = €37 386.63

答え

PV = €37 386.63

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 37364 €

月利と積立回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·12 = 144

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.654 − 1)/0.0035 = €37 364.19

答え

FV = €37 364.19

自分で払い込んだのは €28 800。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 60.02 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €30.00, i = 0.04, N = 7

€30.00·(1 − 0.7599)/0.04 + €1 000·0.7599 = €180.06 + €759.92 = €939.98

新しい利回りでの価格

C = €30.00, i = 0.03, N = 7

€30.00·(1 − 0.8131)/0.03 + €1 000·0.8131 = €186.91 + €813.09 = €1 000.00

変化

ΔP = 1 000.00 − 939.98 = €60.02

答え

ΔP = €60.02

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 6.998 %

利回りの方程式

€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数値的に解く

P(6%) = €1 000.00, P(7%) = €934.85

YTM = 6.998%

答え

YTM = 6.998%

5.CAPM と WACC

答え: r_m = 9.5 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (11.9% − 3.5%)/1.4 = 6%

市場収益率

r_m = 3.5% + 6% = 9.5%

答え

r_m = 9.5%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.645 %

時価

E = 2 500 000·€45.50 = €113 750 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.1·4% = 6.4%

ウェイト

V = €155 750 000, E/V = 0.7303, D/V = 0.2697

WACC

WACC = 0.7303·6.4% + 0.2697·5%·(1 − 0.28) = 5.645%

答え

WACC = 5.645%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 13877 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.12⁻⁴)/0.12 = 3.037

年換算した購入価格

30 000/3.037 = 9 877.03

EAC

EAC = 9 877.03 + 4 000 = €13 877.03

答え

EAC = €13 877.03

8.NPV と IRR

答え: IRR = 32.4 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(30%) = 355.03

NPV(35%) = −362.24

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 30 + 5·355.03/(355.03 − (−362.24)) = 32.47%

正確な値: NPV(32.4%) = 0 → IRR = 32.4%

答え

IRR = 32.4%

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