1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €2 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €2 000g = 1%r = 5%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
7 年後に €100 000 が欲しいとします。年 2.4%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €100 0002.4% / 12N = 84
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 3%n = 12
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、12 年後に満期を迎えます。価格は €759 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4% (2×)n = 12P = €759
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €1 000 000re = 12%rd = 3%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 10% です。負債は 4 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%、残存期間 7 年）からなり、1 枚 €1 027 で取引されています。税率は 25.8% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €15 000 000re = 10%債券: 4 000 × €1 027クーポンレート = 7%n = 7T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€21 000, €21 000, €21 000, €18 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −45 000CF1 = 21 000CF2 = 21 000CF3 = 21 000CF4 = 18 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €22 000, €26 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 22 000CF2 = 26 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 50000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 2 000/(0.05 − 0.01) = 2 000/0.04 = €50 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1094 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·7 = 84
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 100 000·0.002/(1.183 − 1) = €1 094.46
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1501 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.015, N = 24
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.6995)/0.015 = €801.22
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.002 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.62 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429
WACC
WACC = 0.8571·12% + 0.1429·3%·(1 − 0.21) = 10.62%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.888 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1027 = 70·(1 − (1 + y)−7)/y + 1000/(1 + y)7
y = 6.508%
時価
D = 4 000·€1 027 = €4 108 000
V = €19 108 000, E/V = 0.785, D/V = 0.215
WACC
WACC = 0.785·10% + 0.215·6.508%·(1 − 0.258) = 8.888%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 23843 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 21 000/1.07 = 19 626.17
CF2/(1 + 0.07)2 = 21 000/1.145 = 18 342.21
CF3/(1 + 0.07)3 = 21 000/1.225 = 17 142.26
CF4/(1 + 0.07)4 = 18 000/1.311 = 13 732.11
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 13.41 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 1 900.83
NPV(15%) = −831.76
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·1 900.83/(1 900.83 − (−831.76)) = 13.48%
正確な値: NPV(13.41%) = 0 → IRR = 13.41%