1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、四半期複利で €1 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 0003.6% / 4n = 6
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€12 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €12 0004.8% / 12N = 48
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 5.5%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 7% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5YTM = 7%
D = 年
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €10 000 000D = €6 000 000re = 10%rd = 4%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.3 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 21%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 7% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.3D/E1 = 0.4D/E2 = 0.6T = 21%rf = 3.5%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €20 000、耐用年数は 7 年、運転費は毎年 €1 000（各年末に支払い）です。資本コストは 8% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €20 000M = €1 000n = 7r = 8%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €80 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €9 500 で、10 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF1 = €9 500g = 5%n = 10r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1240 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009
N = m·n = 4·6 = 24
将来価値
FV = 1 000·(1 + 0.009)24 = 1 000·1.24 = €1 239.90
2.貨幣の時間価値
答え: A = 275.3 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·4 = 48
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8256
A = 12 000·0.004/(1 − 0.8256) = €275.27
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1176 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.0275, N = 18
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.6137)/0.0275 = €561.95
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: D = 4.601 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 40/1.07 = 37.38, t·PV = 37.38
t = 2: 40/1.145 = 34.94, t·PV = 69.88
t = 3: 40/1.225 = 32.65, t·PV = 97.96
t = 4: 40/1.311 = 30.52, t·PV = 122.06
t = 5: 1040/1.403 = 741.51, t·PV = 3 707.53
デュレーション
P = 876.99
D = 4 034.81/876.99 = 4.601
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.45 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €16 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·10% + 0.375·4%·(1 − 0.2) = 7.45%
6.CAPM と WACC
答え: re = 13.69 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.3/(1 + 0.79·0.4) = 0.9878
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.9878·(1 + 0.79·0.6) = 1.456
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.456·7% = 13.69%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 4841 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.08−7)/0.08 = 5.206
EAC
EAC = 3 841.45 + 1 000 = €4 841.45
8.NPV と IRR
答え: NPV = −9322 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.1))10 = 0.628
PV = 9 500/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.628) = 70 678.22
NPV
NPV = 70 678.22 − 80 000 = −€9 321.78
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。