1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4.8%、四半期複利で €1 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 0004.8% / 4n = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 6%、月複利で €25 000 を借り、毎月末に €775 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €25 000A = €7756% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 10 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 3.5% のとき €1 291 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 10P = €1 291YTM = 3.5%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 4 年後に満期を迎え、€965 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 4P = €965
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 7%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €4 000 000re = 11%rd = 7%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.25 で 1.1 です。負債資本比率を 1 に引き上げる計画です。税率は 21%、無リスク金利は 4%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.1D/E1 = 0.25D/E2 = 1T = 21%rf = 4%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €13 000, €12 000, €12 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 8 000CF2 = 13 000CF3 = 12 000CF4 = 12 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €20 000, €25 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 20 000CF2 = 25 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1210 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·4 = 16
将来価値
FV = 1 000·(1 + 0.012)16 = 1 000·1.21 = €1 210.29
2.貨幣の時間価値
答え: N = 36 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.005
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0.005/775 = 0.8387
対数を使って解く
N = −ln(0.8387)/ln(1.005) = 35.27
返済回数を整数に切り上げる
35 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: c = 6.999 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.035)−10 = €708.92
クーポン
C = (1291 − 708.92)/8.317 = €69.99
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.034 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€965 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数値的に解く
P(7%) = €966.13, P(8%) = €933.76
YTM = 7.034%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.167 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667
WACC
WACC = 0.3333·11% + 0.6667·7%·(1 − 0.25) = 7.167%
6.CAPM と WACC
答え: re = 13.87 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.1/(1 + 0.79·0.25) = 0.9186
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.9186·(1 + 0.79·1) = 1.644
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 1.644·6% = 13.87%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 8698 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 8 000/1.06 = 7 547.17
CF2/(1 + 0.06)2 = 13 000/1.124 = 11 569.95
CF3/(1 + 0.06)3 = 12 000/1.191 = 10 075.43
CF4/(1 + 0.06)4 = 12 000/1.262 = 9 505.12
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 8.666 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 2 176.87
NPV(10%) = −743.80
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·2 176.87/(2 176.87 − (−743.80)) = 8.727%
正確な値: NPV(8.666%) = 0 → IRR = 8.666%