歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 7.5 kW のモータが、歯数 25、モジュール 2 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 7.5 kWn = 1450 rpmN1 = 25m = 2 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 45）が 1440 rpm で回転し、歯車 B（歯数 48）を駆動する。歯車 C（歯数 32）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 540 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 1440 rpmA = 45B = 48C = 32nout = 540 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1500 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 100 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −50 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = −20 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = −50 MPaσy = −60 MPaτxy = −20 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が軸圧縮力 100 kNとトルク 400 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 25 mmF = −100 kNT = 400 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 15 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø35 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 95 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 8 kN/m のばねにつながれた 20 kg の質量に、減衰比 0.5 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 20 kgk = 8 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 40 kN/m、k₂ = 25 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 1976 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 7500/151.8 = 49.39 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2·25 = 50 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·49.39/0.05 = 1976 N
答え
Ft = 1976 N
2.歯車と歯車列
答え: ND = 80
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 1440·45/48 = 1350 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 32·1350/540 = 80
答え
ND = 80
3.軸のねじり
答え: φ = 9.119 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·15708) = 0.1592 rad
φ = 0.1592·180/π = 9.119°
答え
φ = 9.119°
4.軸のねじり
答え: d = 37.81 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·60)) = 37.81 mm
答え
d = 37.81 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 37.81 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = −55 MPa, R = √(5² + (−20)²) = 20.62 MPa
σ1 = −34.38 MPa, σ2 = −75.62 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(41.23, 34.38, 75.62)/2 = 37.81 MPa
答え
τabs = 37.81 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 165.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −100000/(π·25²/4) = −100000/490.9 = −203.7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130.4 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −101.9 MPa
R = √((−101.9)² + 130.4²) = 165.5 MPa
答え
τmax = 165.5 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.599 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201.1 = 74.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 74.6/70000 = 0.001066 = 1066 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001066·1500 mm = 1.599 mm
答え
δ = 1.599 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 143.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 46.77 MPa
σ2 = 143.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 143.2 MPa
答え
σmax = 143.2 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 14.62 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3000² = 14622 N = 14.62 kN
答え
Pcr = 14.62 kN
10.柱の座屈
答え: d = 64.81 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 64.81 mm
答え
d = 64.81 mm
確認：細長比 KL/r は 185.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 2.757 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(8000/20) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.5²) = 2.757 Hz
答え
fd = 2.757 Hz
12.機械振動
答え: fn = 18.15 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 40 + 25 = 65 kN/m
固有振動数
ωn = √(65000/5) = 114 rad/s
fn = 114/(2π) = 18.15 Hz
答え
fn = 18.15 Hz
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