機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

2 本の平行軸の間隔は 78.75 mm である。これらをモジュール 1.5 mm、減速比 2.5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。歯車の歯数 N₂ はいくつ必要か。

a = 78.75 mmm = 1.5 mmi = 2.5

N₂ =

2.歯車と歯車列むずかしい

平行掛けのベルトが、直径 100 mm のプーリと直径 200 mm のプーリをつなぎ、その中心は 600 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。

d₁ = 100 mmd₂ = 200 mmC = 600 mm

θ = °

3.軸のねじりふつう

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 200 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

鋼製の中実軸が 750 rpm で 30 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θ_p を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σ_x = 70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 60 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（σ_z = 0）。ミーゼス相当応力 σ_vM を求めよ。

σ_x = 60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.軸応力とひずみふつう

棒が、鋼の区間（直径 20 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウムでできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、アルミニウムでできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 P_max を求めなさい。

棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 10 mm の 3 周期後に 2.2 mm のピークが現れた。減衰比 ζ を求めよ。

x₀ = 10 mmx₃ = 2.2 mmn = 3

ζ =

12.機械振動むずかしい

5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 50 kN/m、k₂ = 100 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: N₂ = 75

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

歯数の合計

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·78.75/1.5 = 105

比で分ける

N₁ = 105/(1 + 2.5) = 30

N₂ = 2.5·30 = 75

答え

N₂ = 75

2.歯車と歯車列

答え: θ = 170.4 °

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

ベルトの角度

asin(0.08333) = 4.78°

巻き付け角

θ = 180 − 2·4.78 = 170.4°

答え

θ = 170.4°

3.軸のねじり

答え: φ = 4.503 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·79522) = 0.0786 rad

φ = 0.0786·180/π = 4.503°

答え

φ = 4.503°

4.軸のねじり

答え: d = 43.9 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

強度から決まる直径

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·75)) = 29.6 mm

剛性から決まる直径

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 43.9 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(29.6, 43.9) = 43.9 mm

答え

d = 43.9 mm

ここでは剛性で決まります。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_p = 24.01 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θ_p = atan2(2·50, 70 − −20) = 48.01°

要素上の角度

θ_p = 24.01°

答え

θ_p = 24.01°

反時計回りの角度を正とします。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_vM = 103 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = 55 MPa, R = 50.25 MPa

σ₁ = 105.2 MPa, σ₂ = 4.751 MPa, σ₃ = 0

ミーゼス

σ_vM = √(105.2² − 105.2·4.751 + 4.751²) = 103 MPa

答え

σ_vM = 103 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: P = 33.12 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2.526 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.4/1.208 × 10⁻⁵ = 33125 N = 33.12 kN

答え

P = 33.12 kN

8.軸応力とひずみ

答え: P_max = 324.2 kN

面積

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.001143) = 0.0008 (鋼)

最大荷重

P_max = 0.0008·4.053 × 10⁸ = 324212 N = 324.2 kN

答え

P_max = 324.2 kN

9.柱の座屈

答え: P_cr = 3.876 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·4000 = 8000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/8000² = 3876 N = 3.876 kN

答え

P_cr = 3.876 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 5.483 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/20 = 600

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5.483 MPa

答え

σ_cr = 5.483 MPa

11.機械振動

答え: ζ = 0.08007

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

対数減衰率

δ = (1/3)·ln(10/2.2) = 0.5047

減衰比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5047/√(39.48 + 0.2547) = 0.08007

答え

ζ = 0.08007

12.機械振動

答え: f_n = 27.57 Hz

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k₁ + k₂。

k_eq = 50 + 100 = 150 kN/m

固有振動数

ω_n = √(150000/5) = 173.2 rad/s

f_n = 173.2/(2π) = 27.57 Hz

答え

f_n = 27.57 Hz

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