歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 125 mm である。これらをモジュール 2 mm、減速比 4 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 125 mmm = 2 mmi = 4
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 125 mm のプーリと直径 250 mm のプーリをつなぎ、その中心は 1200 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 125 mmd2 = 250 mmC = 1200 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 75 mm、内径 56 mm、長さ 1.2 m）が一端で固定され、他端でトルク 1500 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1500 N·mdo = 75 mmdi = 56 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
アルミニウム製の中実軸が 1500 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 80 MPaσy = 10 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 45° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 10 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 50 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 80 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 80 kN/m のばねにつながれた 25 kg の質量に、減衰比 0.45 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 25 kgk = 80 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 60 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 15 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 100
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·125/2 = 125
比で分ける
N1 = 125/(1 + 4) = 25
N2 = 4·25 = 100
答え
N2 = 100
2.歯車と歯車列
答え: θ = 174 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.05208) = 2.986°
巻き付け角
θ = 180 − 2·2.986 = 174°
答え
θ = 174°
3.軸のねじり
答え: φ = 1.853 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
ねじれ角
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·1200/(26000·2.141 × 10⁶) = 0.03234 rad
φ = 0.03234·180/π = 1.853°
答え
φ = 1.853°
4.軸のねじり
答え: d = 44.18 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m
強度から決まる直径
T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
dτ = ∛(16·127324/(π·75)) = 20.52 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·127324/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 44.18 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(20.52, 44.18) = 44.18 mm
答え
d = 44.18 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 53.15 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((80 − 10)/2)² + 40²) = 53.15 MPa
答え
τmax = 53.15 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 35 + −25·0 + 30·−1 = 5 MPa
答え
σθ = 5 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.04974 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6.032 × 10⁸ N
縮み
δ = 50000·600/6.032 × 10⁸ = 0.04974 mm
答え
δ = 0.04974 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 683.7 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·8482 = 1.074 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0006364) = 0.0006364 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006364·1.074 × 10⁹ = 683725 N = 683.7 kN
答え
Pmax = 683.7 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.412 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2.412 kN
答え
Pcr = 2.412 kN
10.柱の座屈
答え: d = 65.65 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·80000 = 200000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 65.65 mm
答え
d = 65.65 mm
確認：細長比 KL/r は 182.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 8.04 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(80000/25) = 56.57 rad/s
fn = 56.57/(2π) = 9.003 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 9.003·√(1 − 0.45²) = 8.04 Hz
答え
fd = 8.04 Hz
12.機械振動
答え: fn = 13.78 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 60 = 75 kN/m
固有振動数
ωn = √(75000/10) = 86.6 rad/s
fn = 86.6/(2π) = 13.78 Hz
答え
fn = 13.78 Hz
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