歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm の 0.75 kW のモータが条数 3 のウォームを駆動する。ウォームホイールの歯数は 40、伝動効率は 65% である。ホイール軸の出力トルク Tw を求めよ。
z = 3Nw = 40n = 1440 rpmP = 0.75 kWη = 65%
Tw = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
2900 rpm の 15 kW のモータが歯車 A（歯数 32）を駆動し、A は歯車 B（歯数 36）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 18）が出力軸の歯車 D（歯数 32）を駆動する。各かみ合いの効率は 96% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 15 kWnin = 2900 rpmA = 32B = 36C = 18D = 32ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 60 mm、長さ 2.5 m、区間 BC は直径 30 mm、長さ 1 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 200 N·md1 = 60 mm, L1 = 2.5 md2 = 30 mm, L2 = 1 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 3000 rpm で 15 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 15 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.75τallow = 50 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 0 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 10 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 10 MPaσy = −10 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 65 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 100 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 8 kN/m のばねにつながれた 40 kg の質量に、減衰比 0.4 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 40 kgk = 8 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 20 kN/m、k₂ = 80 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 25 kgk1 = 20 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Tw = 43.1 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 1440·3/40 = 108 rpm
出力トルク
ωw = 2π·108/60 = 11.31 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.65·750/11.31 = 43.1 N·m
答え
Tw = 43.1 N·m
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 91.04 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 2900·(32/36)·(18/32) = 1450 rpm
ωout = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 15000·0.96² = 13824 W
Tout = Pout/ωout = 13824/151.8 = 91.04 N·m
答え
Tout = 91.04 N·m
3.軸のねじり
答え: τmax = 37.73 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 200 N·m = 200000 N·mm
τAB = 16·200000/(π·60³) = 4.716 MPa
τBC = 16·200000/(π·30³) = 37.73 MPa
答え
τmax = 37.73 MPa
4.軸のねじり
答え: do = 19.23 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 15000/314.2 = 47.75 N·m
許容応力からの外径
T = 47.75 N·m = 47746 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·50·0.6836)) = 19.23 mm
di = 0.75·19.23 = 14.42 mm
答え
do = 19.23 mm
中実軸なら d = 16.94 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 45 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 0 − 0) = 90°
要素上の角度
θp = 45°
答え
θp = 45°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 105.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 0 MPa, R = 60.83 MPa
σ1 = 60.83 MPa, σ2 = −60.83 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(60.83² − 60.83·(−60.83) + (−60.83)²) = 105.4 MPa
答え
σvM = 105.4 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.5173 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 206.9/200000 = 0.001035 = 1035 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001035·500 mm = 0.5173 mm
答え
δ = 0.5173 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 17.24 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 141.5 MPa
σ2 = 884.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 141.5·1500/100000 = 2.122 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 884.2·2000/117000 = 15.11 mm
δ = δ1 + δ2 = 17.24 mm
答え
δ = 17.24 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 347.3 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347.3 kN
答え
Pcr = 347.3 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 24.48 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/12.5 = 168
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24.48 MPa
答え
σcr = 24.48 MPa
11.機械振動
答え: fd = 2.063 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(8000/40) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.4²) = 2.063 Hz
答え
fd = 2.063 Hz
12.機械振動
答え: keq = 100 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 20 + 80 = 100 kN/m
答え
keq = 100 kN/m
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