歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
条数 4 のウォームが 2900 rpm で回転し、歯数 50 のウォームホイールを駆動する。ホイールの回転速度 nw を求めよ。
z = 4Nw = 50n = 2900 rpm
nw = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1440 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 32）が歯車 B（歯数 45）を駆動する。歯車 C（歯数 20）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 25）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1440 rpmA = 32B = 45C = 20D = 25
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm のアルミニウム製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1 m、B から 3 m の C にトルク 1500 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmT0 = 1500 N·ma = 1 mb = 3 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 20 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 20 MPaσy = −20 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が曲げモーメント 500 N·mとトルク 500 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 25 mmM = 500 N·mT = 500 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 80 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 8 kN/m のばねにつながれた 5 kg の質量に、減衰比 0.5 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 5 kgk = 8 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量がばね k₃ = 15 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 50 kN/m と k₂ = 50 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 50 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: nw = 232 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 2900·4/50 = 232 rpm
答え
nw = 232 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 819.2 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1440·32/45 = 1024 rpm = nC
第 2 段
nout = 1024·20/25 = 819.2 rpm
答え
nout = 819.2 rpm
全体の速比 = 1.758 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 2.923 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(39000·251327) = 0.05101 rad
φ = 0.05101·180/π = 2.923°
答え
φ = 2.923°
4.軸のねじり
答え: τmax = 212.2 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·3/4 = 1125 N·m
TB = 1500·1/4 = 375 N·m
最大せん断応力
2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。
τmax = 16·1.125 × 10⁶/(π·30³) = 212.2 MPa
答え
τmax = 212.2 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 53.85 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((20 − −20)/2)² + 50²) = 53.85 MPa
答え
τmax = 53.85 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 230.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·25³) = 325.9 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 163 MPa
R = √(163² + 163²) = 230.5 MPa
答え
τmax = 230.5 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.03265 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·7461 = 9.189 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·300/9.189 × 10⁸ = 0.03265 mm
答え
δ = 0.03265 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 226.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·2199 = 2.827 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0008) = 0.0008 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0008·2.827 × 10⁸ = 226195 N = 226.2 kN
答え
Pmax = 226.2 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 11.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/6000² = 11994 N = 11.99 kN
答え
Pcr = 11.99 kN
10.柱の座屈
答え: d = 70.91 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·80000 = 200000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 70.91 mm
答え
d = 70.91 mm
確認：細長比 KL/r は 197.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 5.513 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(8000/5) = 40 rad/s
fn = 40/(2π) = 6.366 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 6.366·√(1 − 0.5²) = 5.513 Hz
答え
fd = 5.513 Hz
12.機械振動
答え: fn = 5.748 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 50 + 50 = 100 kN/m
keq = 100·15/(100 + 15) = 13.04 kN/m
固有振動数
ωn = √(13043/10) = 36.12 rad/s
fn = 36.12/(2π) = 5.748 Hz
答え
fn = 5.748 Hz
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