歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 160 mm の駆動プーリ上を 960 rpm で走っています。張力は張り側で 1500 N、緩み側で 450 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 160 mmn1 = 960 rpmT1 = 1500 NT2 = 450 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、200 rpm の直径 2880 mm の駆動プーリと直径 400 mm のプーリをつなぎ、中心は 1200 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 1500 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 200 mmn1 = 2880 rpmd2 = 400 mmC = 1200 mmμ = 0.25T1 = 1500 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 75 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 75 kWN = 300 rpmdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 20 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 20 MPaσy = 40 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 60° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 0 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 20 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 5 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 5 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 12 mm の 5 周期後に 0.5 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 12 mmx5 = 0.5 mmn = 5
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 10 kN/m、下のばねは k₂ = 80 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 5 kgk1 = 10 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 8.445 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 8.042 m/s
電力
P = (1500 − 450)·8.042 = 8445 W = 8.445 kW
答え
P = 8.445 kW
2.歯車と歯車列
答え: P = 23.73 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.975 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.7437 = 2.104, T₂ = 1500/2.104 = 713 N
電力
P = (1500 − 713)·30.16 = 23.73 kW
答え
P = 23.73 kW
3.軸のねじり
答え: φ = 2.626 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·613592) = 0.04584 rad
φ = 0.04584·180/π = 2.626°
答え
φ = 2.626°
4.軸のねじり
答え: do = 64.37 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m
許容応力からの外径
T = 2387 N·m = 2.387 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·60·0.7599)) = 64.37 mm
di = 0.7·64.37 = 45.06 mm
答え
do = 64.37 mm
中実軸なら d = 58.74 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 14.14 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((20 − 40)/2)² + 10²) = 14.14 MPa
答え
τmax = 14.14 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 134.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 55 + −55·−0.5 + 60·0.866 = 134.5 MPa
答え
σθ = 134.5 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 46.43 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.3/6.462 × 10⁻⁶ = 46427 N = 46.43 kN
答え
P = 46.43 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 3.405 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 20000·777544/1.615 × 10⁶ = 9627 N
応力
σ2 = 9627/2827 = 3.405 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 3.405 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 37.85 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37.85 kN
答え
Pcr = 37.85 kN
10.柱の座屈
答え: d = 42.68 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 42.68 mm
答え
d = 42.68 mm
確認：細長比 KL/r は 281.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1006
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/5)·ln(12/0.5) = 0.6356
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6356/√(39.48 + 0.404) = 0.1006
答え
ζ = 0.1006
12.機械振動
答え: keq = 8.889 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/10 + 1/80 → keq = 10·80/(10 + 80) = 8.889 kN/m
答え
keq = 8.889 kN/m
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