歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 120 mm の駆動プーリ上を 960 rpm で走っています。張力は張り側で 1500 N、緩み側で 375 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 120 mmn1 = 960 rpmT1 = 1500 NT2 = 375 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
960 rpm の 3 kW のモータが歯車 A（歯数 40）を駆動し、A は歯車 B（歯数 45）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 12）が出力軸の歯車 D（歯数 24）を駆動する。各かみ合いの効率は 96% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 3 kWnin = 960 rpmA = 40B = 45C = 12D = 24ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 20 mm の中実試験片をトルク 100 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 1.82° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1.82°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 50 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −30 MPaσy = 0 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 70 MPaσy = −10 MPaτxy = 40 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 15 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
8 kg の質量が、ばね定数 15 kN/m のばねと、減衰係数 210 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 8 kgk = 15 kN/mc = 210 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 30 kN/m、k₂ = 25 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 6.786 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 6.032 m/s
電力
P = (1500 − 375)·6.032 = 6786 W = 6.786 kW
答え
P = 6.786 kW
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 61.88 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 960·(40/45)·(12/24) = 426.7 rpm
ωout = 2π·426.7/60 = 44.68 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 3000·0.96² = 2765 W
Tout = Pout/ωout = 2765/44.68 = 61.88 N·m
答え
Tout = 61.88 N·m
3.軸のねじり
答え: G = 80.17 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.82·π/180 = 0.03176 rad
横弾性係数
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0.03176) = 80166 MPa
G = 80.17 GPa
答え
G = 80.17 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 49.54 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49.54 mm
答え
d = 49.54 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 18.03 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−30 − 0)/2)² + −10²) = 18.03 MPa
答え
τmax = 18.03 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 76.34 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 30 + 40·0.1736 + 40·0.9848 = 76.34 MPa
答え
σθ = 76.34 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 181.4 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 15·1000/706.9 = 21.22 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 21.22/117000 = 0.0001814 = 181.4 µε
答え
ε = 181.4 µε
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 339.3 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5027 = 5.655 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.0006, 0.0006) = 0.0006 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006·5.655 × 10⁸ = 339292 N = 339.3 kN
答え
Pmax = 339.3 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 23.39 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1500² = 23395 N = 23.39 kN
答え
Pcr = 23.39 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 8.567 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/6.25 = 480
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
答え
σcr = 8.567 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.3031
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·8) = 692.8 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 210/692.8 = 0.3031
答え
ζ = 0.3031
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 7.465 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 30 + 25 = 55 kN/m
固有振動数
ωn = √(55000/25) = 46.9 rad/s
fn = 46.9/(2π) = 7.465 Hz
答え
fn = 7.465 Hz
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