機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

2 本の平行軸の間隔は 75 mm である。これらをモジュール 2 mm、減速比 2 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。ピニオンの歯数 N₁ はいくつ必要か。

a = 75 mmm = 2 mmi = 2

N₁ =

2.歯車と歯車列むずかしい

複合歯車列において、2900 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 16）を駆動する。歯車 C（歯数 25）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 32）を駆動する。出力回転速度 n_out を求めよ。

n_in = 2900 rpmA = 15B = 16C = 25D = 32

n_out = rpm

3.軸のねじりふつう

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 200 N·md = 20 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 3000 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −70 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。面内の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

σ_x = −70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上のせん断応力 τ_θ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = 30 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、黄銅でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 300 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、アルミニウムでできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 P_max を求めなさい。

棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 25 mm の 1 周期後に 15.1 mm のピークが現れた。減衰比 ζ を求めよ。

x₀ = 25 mmx₁ = 15.1 mmn = 1

ζ =

12.機械振動むずかしい

5 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 60 kN/m、下のばねは k₂ = 12 kN/m である。ばね系の等価ばね定数 k_eq を kN/m で求めよ。

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: N₁ = 25

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

歯数の合計

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·75/2 = 75

比で分ける

N₁ = 75/(1 + 2) = 25

答え

N₁ = 25

2.歯車と歯車列

答え: n_out = 2124 rpm

歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。

第 1 段

n_B = 2900·15/16 = 2719 rpm = n_C

第 2 段

n_out = 2719·25/32 = 2124 rpm

答え

n_out = 2124 rpm

全体の速比 = 1.365 : 1

3.軸のねじり

答え: φ = 18.71 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·15708) = 0.3265 rad

φ = 0.3265·180/π = 18.71°

答え

φ = 18.71°

4.軸のねじり

答え: d = 11.75 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 5000/314.2 = 15.92 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·50)) = 11.75 mm

答え

d = 11.75 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_max = 72.11 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

モールの応力円の半径

τ_max = R = √(((−70 − 50)/2)² + −40²) = 72.11 MPa

答え

τ_max = 72.11 MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_θ = −37.37 MPa

変換式

τ_θ = −45·0.9848 + 40·0.1736 = −37.37 MPa

答え

τ_θ = −37.37 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.1014 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·7461 = 8.875 × 10⁸ N

縮み

δ = 300000·300/8.875 × 10⁸ = 0.1014 mm

答え

δ = 0.1014 mm

8.軸応力とひずみ

答え: P_max = 234.4 kN

面積

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·3063 = 3.126 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.00075, 0.001) = 0.00075 (鋼)

最大荷重

P_max = 0.00075·3.126 × 10⁸ = 234441 N = 234.4 kN

答え

P_max = 234.4 kN

9.柱の座屈

答え: P_cr = 67.29 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67.29 kN

答え

P_cr = 67.29 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 179 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

答え

σ_cr = 179 MPa

11.機械振動

答え: ζ = 0.07999

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

対数減衰率

δ = (1/1)·ln(25/15.1) = 0.5042

減衰比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5042/√(39.48 + 0.2542) = 0.07999

答え

ζ = 0.07999

12.機械振動

答え: k_eq = 10 kN/m

等価ばね定数

直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/60 + 1/12 → k_eq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m

答え

k_eq = 10 kN/m

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