機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

2 本の平行軸の間隔は 33.75 mm である。これらをモジュール 1.5 mm、減速比 2 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。歯車の歯数 N₂ はいくつ必要か。

a = 33.75 mmm = 1.5 mmi = 2

N₂ =

2.歯車と歯車列むずかしい

遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 16、各遊星歯車の歯数は 20 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 900 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 n_c を求めよ。

N_s = 16N_p = 20n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.軸のねじりふつう

ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 100 N·m でねじる。標点距離 300 mm の両端は互いに 4.32° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 100 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 4.32°

G = GPa

4.軸のねじりむずかしい

鋼製の中実軸が 750 rpm で 50 kW を伝達する。せん断応力は 80 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.25° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −70 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θ_p を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σ_x = −70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

内径 600 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 50° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。溶接継目を横切って作用する垂直応力 σ_n を求めよ。

D = 600 mmt = 5 mmp = 1.5 MPaα = 50°

σ_n = MPa

7.軸応力とひずみふつう

棒が、鋼の区間（直径 25 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウムでできた区間（直径 50 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σ_max を求めよ。

P = 40 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）

σ_max = MPa

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 35 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 35 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.機械振動ふつう

100 kg の質量が、ばね定数 15 kN/m のばねと、減衰係数 610 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 100 kgk = 15 kN/mc = 610 N·s/m

ζ =

12.機械振動むずかしい

50 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 20 kN/m である。ばね系の等価ばね定数 k_eq を kN/m で求めよ。

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: N₂ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

歯数の合計

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·33.75/1.5 = 45

比で分ける

N₁ = 45/(1 + 2) = 15

N₂ = 2·15 = 30

答え

N₂ = 30

2.歯車と歯車列

答え: n_c = 200 rpm

遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。

リングギヤの歯数

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·20 = 56

リング固定時のウィリスの式

n_r = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −56/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·16/72 = 200 rpm

答え

n_c = 200 rpm

キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。

3.軸のねじり

答え: G = 80.06 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 4.32·π/180 = 0.0754 rad

横弾性係数

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(4970·0.0754) = 80056 MPa

G = 80.06 GPa

答え

G = 80.06 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: d = 65.65 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

強度から決まる直径

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·80)) = 34.35 mm

剛性から決まる直径

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 65.65 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(34.35, 65.65) = 65.65 mm

答え

d = 65.65 mm

ここでは剛性で決まります。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_p = 70.67 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θ_p = atan2(2·20, −70 − −20) = 141.3°

要素上の角度

θ_p = 70.67°

答え

θ_p = 70.67°

反時計回りの角度を正とします。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_n = 63.59 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σ_h = pr/t、軸方向応力 σ_a = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1.5·300/5 = 90 MPa

σ_a = pr/(2t) = 45 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σ_a）、y を周方向（σ_h）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σ_n = 45·sin²50° + 90·cos²50° = 63.59 MPa

答え

σ_n = 63.59 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: P = 45.81 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3.638 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.4/8.731 × 10⁻⁶ = 45815 N = 45.81 kN

答え

P = 45.81 kN

8.軸応力とひずみ

答え: σ_max = 353.7 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 41.58 MPa

σ₂ = 353.7 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σ_max = 353.7 MPa

答え

σ_max = 353.7 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 78.48 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·4000 = 4000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN

答え

P_cr = 78.48 kN

10.柱の座屈

答え: d = 46.1 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 46.1 mm

答え

d = 46.1 mm

確認：細長比 KL/r は 216.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: ζ = 0.249

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·100) = 2449 N·s/m

減衰比

ζ = c/c_c = 610/2449 = 0.249

答え

ζ = 0.249

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: k_eq = 16 kN/m

等価ばね定数

直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/80 + 1/20 → k_eq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

答え

k_eq = 16 kN/m

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