機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車
n1·N1 = n2·N2
トルク
T2 = T1·(N2/N1)·η
電力
P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列
全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
静たわみから
ωn = √(g/δst)
臨界減衰
cc = 2√(km) = 2mωn
減衰比
ζ = c/cc
減衰固有振動数
ωd = ωn√(1 − ζ²)
対数減衰率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね
k = k1 + k2
直列ばね
1/k = 1/k1 + 1/k2

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう
d1​ = 125 mmd2​ = 500 mm2880 rpmT1​ = 1500 NT2​ = 600 NP = ?

ベルトが、直径 125 mm の駆動プーリ上を 2880 rpm で走っています。張力は張り側で 1500 N、緩み側で 600 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。

d1 = 125 mmn1 = 2880 rpmT1 = 1500 NT2 = 600 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
A = 30B = 32C = 60D = 80

1450 rpm の 4 kW のモータが歯車 A（歯数 30）を駆動し、A は歯車 B（歯数 32）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 60）が出力軸の歯車 D（歯数 80）を駆動する。各かみ合いの効率は 97% である。出力トルク Tout を求めよ。

P = 4 kWnin = 1450 rpmA = 30B = 32C = 60D = 80ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
T = 250 N·md = 40 mmL = 1.5 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 250 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = ?50 kW, 300 rpm

鋼製の中実軸が 300 rpm で 50 kW を伝達する。せん断応力は 80 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 140σy​ = 30τxy​ = 20MPa

ある点で σₓ = 140 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 140 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
40°D = 400 mm, t = 8 mm, p = 1.5 MPap

内径 400 mm、肉厚 8 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 40° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。

D = 400 mmt = 8 mmp = 1.5 MPaα = 40°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
50 kNØ2070 GPaØ120/70500 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 50 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø20120 GPaØ80/60400 mm

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 120 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 6 md = 80 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
k = 25 kN/mζ = 0.3m = 80 kg

ばね定数 25 kN/m のばねにつながれた 80 kg の質量に、減衰比 0.3 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。

m = 80 kgk = 25 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
k1​ = 10k2​ = 40m = 5 kg

5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 10 kN/m、k₂ = 40 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。

m = 5 kgk1 = 10 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: P = 16.96 kW

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

ベルトの速さ

v = 18.85 m/s

電力

P = (1500 − 600)·18.85 = 16965 W = 16.96 kW

答え

P = 16.96 kW
2.歯車と歯車列

答え: Tout = 35.25 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

出力回転数

nout = 1450·(30/32)·(60/80) = 1020 rpm
ωout = 2π·1020/60 = 106.8 rad/s

出力動力とトルク

Pout = 4000·0.97² = 3764 W
Tout = Pout/ωout = 3764/106.8 = 35.25 N·m

答え

Tout = 35.25 N·m
3.軸のねじり

答え: φ = 2.192 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(39000·251327) = 0.03826 rad
φ = 0.03826·180/π = 2.192°

答え

φ = 2.192°
4.軸のねじり

答え: d = 62.73 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

強度から決まる直径

T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·80)) = 46.62 mm

剛性から決まる直径

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·1.592 × 10⁶/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 62.73 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(46.62, 62.73) = 62.73 mm

答え

d = 62.73 mm

ここでは剛性で決まります。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = −35.01 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = 20/58.52 = 0.3417, sin 2θs = −55/58.52 = −0.9398
2θs = atan2(−55, 20) = −70.02°

要素上の角度

θs = −35.01°
確認: θs − θp = −35.01 − 9.992 = −45°

答え

θs = −35.01°

反時計回りの角度を正とします。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σn = 29.75 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1.5·200/8 = 37.5 MPa
σa = pr/(2t) = 18.75 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σn = 18.75·sin²40° + 37.5·cos²40° = 29.75 MPa

答え

σn = 29.75 MPa
7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.04273 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·7461 = 5.851 × 10⁸ N

縮み

δ = 50000·500/5.851 × 10⁸ = 0.04273 mm

答え

δ = 0.04273 mm
8.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 190.6 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·2199 = 3.267 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.0005833) = 0.0005833 (銅)

最大荷重

Pmax = 0.0005833·3.267 × 10⁸ = 190590 N = 190.6 kN

答え

Pmax = 190.6 kN
9.柱の座屈

答え: Pcr = 67.29 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67.29 kN

答え

Pcr = 67.29 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 7.676 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/20 = 300

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7.676 MPa

答え

σcr = 7.676 MPa
11.機械振動

答え: fd = 2.684 Hz

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

減衰のない固有振動数

ωn = √(25000/80) = 17.68 rad/s
fn = 17.68/(2π) = 2.813 Hz

減衰固有振動数

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.813·√(1 − 0.3²) = 2.684 Hz

答え

fd = 2.684 Hz
12.機械振動

答え: keq = 50 kN/m

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。

keq = 10 + 40 = 50 kN/m

答え

keq = 50 kN/m

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