歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 2.2 kW のモータが歯数 40 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 48 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 95% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 2.2 kWn1 = 1450 rpmN1 = 40N2 = 48η = 95%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 12）が 2880 rpm で回転し、歯車 B（歯数 40）を駆動する。歯車 C（歯数 12）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 648 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 2880 rpmA = 12B = 40C = 12nout = 648 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 500 rpm で 5 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 5 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 130 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 130 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1500 mm、肉厚 8 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 25° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 1500 mmt = 8 mmp = 2.5 MPaα = 25°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 105 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 70 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 70 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 15 kN/m のばねにつながれた 40 kg の質量に、減衰比 0.4 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 40 kgk = 15 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 100 kN/m、下のばねは k₂ = 30 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 100 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 14.49 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/151.8 = 14.49 N·m
答え
T1 = 14.49 N·m
2.歯車と歯車列
答え: ND = 16
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 2880·12/40 = 864 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 12·864/648 = 16
答え
ND = 16
3.軸のねじり
答え: φ = 5.746 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·38350) = 0.1003 rad
φ = 0.1003·180/π = 5.746°
答え
φ = 5.746°
4.軸のねじり
答え: d = 31.04 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
強度から決まる直径
T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·75)) = 18.65 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·95493/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 31.04 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(18.65, 31.04) = 31.04 mm
答え
d = 31.04 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −55.9 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −30/80.78 = −0.3714, sin 2θs = −75/80.78 = −0.9285
2θs = atan2(−75, −30) = −111.8°
要素上の角度
θs = −55.9°
確認: θs − θp = −55.9 − (−10.9) = −45°
答え
θs = −55.9°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 213.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 2.5·750/8 = 234.4 MPa
σa = pr/(2t) = 117.2 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 117.2·sin²25° + 234.4·cos²25° = 213.4 MPa
答え
σn = 213.4 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.971 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/706.9 = 148.5 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 148.5/100000 = 0.001485 = 1485 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001485·2000 mm = 2.971 mm
答え
δ = 2.971 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 683.7 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·8482 = 1.074 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.00075, 0.0006364) = 0.0006364 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006364·1.074 × 10⁹ = 683725 N = 683.7 kN
答え
Pmax = 683.7 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 21.06 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2500² = 21055 N = 21.06 kN
答え
Pcr = 21.06 kN
10.柱の座屈
答え: d = 63.5 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 63.5 mm
答え
d = 63.5 mm
確認：細長比 KL/r は 189 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 2.825 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(15000/40) = 19.36 rad/s
fn = 19.36/(2π) = 3.082 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.082·√(1 − 0.4²) = 2.825 Hz
答え
fd = 2.825 Hz
12.機械振動
答え: fn = 10.81 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/100 + 1/30 → keq = 100·30/(100 + 30) = 23.08 kN/m
固有振動数
ωn = √(23077/5) = 67.94 rad/s
fn = 67.94/(2π) = 10.81 Hz
答え
fn = 10.81 Hz
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