歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 15 kW のモータが、歯数 16、モジュール 2.5 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 15 kWn = 1440 rpmN1 = 16m = 2.5 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
2900 rpm の 1.5 kW のモータが歯車 A（歯数 15）を駆動し、A は歯車 B（歯数 60）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 12）が出力軸の歯車 D（歯数 18）を駆動する。各かみ合いの効率は 96% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 1.5 kWnin = 2900 rpmA = 15B = 60C = 12D = 18ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 30 mm、長さ 1 m、区間 BC は直径 25 mm、長さ 2 m である。自由端 C にトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 250 N·md1 = 30 mm, L1 = 1 md2 = 25 mm, L2 = 2 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 100 kWN = 1800 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 60 MPa、σᵧ = 80 MPa である。最大主応力が 90 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 60 MPaσy = 80 MPaσ1 = 90 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 40 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 120 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 10 kN/m のばねにつながれた 20 kg の質量に、減衰比 0.7 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 20 kgk = 10 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 15 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 4974 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 15000/150.8 = 99.47 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2.5·16 = 40 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·99.47/0.04 = 4974 N
答え
Ft = 4974 N
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 27.31 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 2900·(15/60)·(12/18) = 483.3 rpm
ωout = 2π·483.3/60 = 50.61 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 1500·0.96² = 1382 W
Tout = Pout/ωout = 1382/50.61 = 27.31 N·m
答え
Tout = 27.31 N·m
3.軸のねじり
答え: τmax = 81.49 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 250 N·m = 250000 N·mm
τAB = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa
τBC = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
答え
τmax = 81.49 MPa
4.軸のねじり
答え: τmax = 13.34 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 530516·30/1.193 × 10⁶ = 13.34 MPa
答え
τmax = 13.34 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 17.32 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (60 + 80)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 90 − 70 = 20 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 10²) = 17.32 MPa
答え
τxy = 17.32 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 16.04 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 20 + 20·0.766 + −30·0.6428 = 16.04 MPa
答え
σθ = 16.04 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 34.23 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/5.843 × 10⁻⁶ = 34230 N = 34.23 kN
答え
P = 34.23 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 676.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·8482 = 1.159 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0005833) = 0.0005833 (銅)
最大荷重
Pmax = 0.0005833·1.159 × 10⁹ = 676228 N = 676.2 kN
答え
Pmax = 676.2 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 63.97 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·1500 = 750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/750² = 63970 N = 63.97 kN
答え
Pcr = 63.97 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 36.26 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/7.5 = 233.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233.3² = 36.26 MPa
答え
σcr = 36.26 MPa
11.機械振動
答え: fd = 2.542 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(10000/20) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.7²) = 2.542 Hz
答え
fd = 2.542 Hz
12.機械振動
答え: fn = 2.757 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/15 + 1/10 → keq = 15·10/(15 + 10) = 6 kN/m
固有振動数
ωn = √(6000/20) = 17.32 rad/s
fn = 17.32/(2π) = 2.757 Hz
答え
fn = 2.757 Hz
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