歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 7.5 kW のモータが歯数 72 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 80 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 96% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 7.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 72N2 = 80η = 96%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 125 mm のプーリと直径 400 mm のプーリをつなぎ、その中心は 1200 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 125 mmd2 = 400 mmC = 1200 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
長さ 0.8 m の鋼製の中実軸がトルク 1500 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 0.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 1500 N·mL = 0.8 mG = 80 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 50 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 50 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 70 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 40°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 70 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 160 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 160 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 105 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 200 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 40 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 80 kN/m のばねにつながれた 150 kg の質量に、減衰比 0.35 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 150 kgk = 80 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 10 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 49.74 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/150.8 = 49.74 N·m
答え
T1 = 49.74 N·m
2.歯車と歯車列
答え: θ = 166.8 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.1146) = 6.58°
巻き付け角
θ = 180 − 2·6.58 = 166.8°
答え
θ = 166.8°
3.軸のねじり
答え: d = 64.69 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·800/(80000·0.008727) = 1.719 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 64.69 mm
答え
d = 64.69 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: do = 31.89 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
許容応力からの外径
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·80·0.9375)) = 31.89 mm
di = 0.5·31.89 = 15.94 mm
答え
do = 31.89 mm
中実軸なら d = 31.21 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −8.176 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −5 − 75·0.1736 − (−10)·0.9848 = −8.176 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −1.824 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy
答え
σy′ = −8.176 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 134.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 135 + 25·0.342 + −10·0.9397 = 134.2 MPa
答え
σθ = 134.2 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 13369 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 105·1000/78.54 = 1337 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 1337/100000 = 0.01337 = 13369 µε
答え
ε = 13369 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 10.91 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 100000·2827/200 = 1.414 × 10⁶ N/mm
区間 2 の分担
F2 = 40000·1.414 × 10⁶/1.833 × 10⁶ = 30857 N
応力
σ2 = 30857/2827 = 10.91 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 10.91 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 9.646 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9.646 kN
答え
Pcr = 9.646 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 4.318 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答え
σcr = 4.318 MPa
11.機械振動
答え: fd = 3.443 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(80000/150) = 23.09 rad/s
fn = 23.09/(2π) = 3.676 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.676·√(1 − 0.35²) = 3.443 Hz
答え
fd = 3.443 Hz
12.機械振動
答え: fn = 5.627 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 10 = 25 kN/m
固有振動数
ωn = √(25000/20) = 35.36 rad/s
fn = 35.36/(2π) = 5.627 Hz
答え
fn = 5.627 Hz
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