機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

960 rpm で回転する 15 kW のモータが歯数 16 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 80 の歯車とかみ合っている。この歯車対の効率は 95% である。歯車軸の出力トルク T₂ を求めよ。

P = 15 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 16N₂ = 80η = 95%

T₂ = N·m

2.歯車と歯車列むずかしい

平行掛けのベルトが、直径 80 mm のプーリと直径 200 mm のプーリをつなぎ、その中心は 600 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。

d₁ = 80 mmd₂ = 200 mmC = 600 mm

θ = °

3.軸のねじりふつう

長さ 0.5 m の鋼製の中実軸がトルク 750 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 0.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

T = 750 N·mL = 0.5 mG = 80 GPaφ_allow = 0.5°

d = mm

4.軸のねじりむずかしい

中空軸が 1450 rpm で 5 kW を伝達しなければならない。内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 d_o を求めよ。

P = 5 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

ある点で σₓ = −30 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 30°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σ_y′ を求めよ。

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

内径 500 mm、肉厚 12 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 60° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。溶接継目を横切って作用する垂直応力 σ_n を求めよ。

D = 500 mmt = 12 mmp = 2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、青銅でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 100 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、アルミニウムでできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 70 GPa、許容応力 50 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 P_max を求めなさい。

棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

150 kg の質量が、ばね定数 100 kN/m のばねと、減衰係数 390 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 150 kgk = 100 kN/mc = 390 N·s/m

ζ =

12.機械振動むずかしい

10 kg の質量がばね k₃ = 12 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 80 kN/m と k₂ = 25 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: T₂ = 708.7 N·m

歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。

モータのトルク

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/100.5 = 149.2 N·m

出力トルク

T₂ = 149.2·80/16·0.95 = 708.7 N·m

答え

T₂ = 708.7 N·m

2.歯車と歯車列

答え: θ = 168.5 °

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

ベルトの角度

asin(0.1) = 5.739°

巻き付け角

θ = 180 − 2·5.739 = 168.5°

答え

θ = 168.5°

3.軸のねじり

答え: d = 48.36 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

必要な断面二次極モーメント

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·500/(80000·0.008727) = 537148 mm⁴

直径

d = (32J/π)^1/4 = 48.36 mm

答え

d = 48.36 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

4.軸のねじり

答え: d_o = 13.7 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m

許容応力からの外径

T = 32.93 N·m = 32929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·32929/(π·75·0.8704)) = 13.7 mm

d_i = 0.6·13.7 = 8.217 mm

答え

d_o = 13.7 mm

中実軸なら d = 13.08 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_y′ = 80.8 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

y′ 面の座標変換の式

σ_y′ = 15 − (−45)·0.5 − 50·(−0.866) = 80.8 MPa

確認

垂直応力の和は回転しても変わりません。

σ_x′ = −50.8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

答え

σ_y′ = 80.8 MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_n = 26.04 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σ_h = pr/t、軸方向応力 σ_a = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2·250/12 = 41.67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20.83 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σ_a）、y を周方向（σ_h）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σ_n = 20.83·sin²60° + 41.67·cos²60° = 26.04 MPa

答え

σ_n = 26.04 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.04158 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·7461 = 9.621 × 10⁸ N

縮み

δ = 100000·400/9.621 × 10⁸ = 0.04158 mm

答え

δ = 0.04158 mm

8.軸応力とひずみ

答え: P_max = 398.2 kN

面積

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·7461 = 6.637 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0006, 0.0007143) = 0.0006 (鋼)

最大荷重

P_max = 0.0006·6.637 × 10⁸ = 398197 N = 398.2 kN

答え

P_max = 398.2 kN

9.柱の座屈

答え: P_cr = 228.5 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·1500 = 750 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/750² = 228463 N = 228.5 kN

答え

P_cr = 228.5 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 8.567 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12.5 = 480

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

答え

σ_cr = 8.567 MPa

11.機械振動

答え: ζ = 0.05035

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·150) = 7746 N·s/m

減衰比

ζ = c/c_c = 390/7746 = 0.05035

答え

ζ = 0.05035

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: f_n = 5.223 Hz

等価ばね定数

並列なのは k₁ と k₂ だけです。その組が k₃ と直列なので、逆数で合成しましょう。

k₁₂ = 80 + 25 = 105 kN/m

k_eq = 105·12/(105 + 12) = 10.77 kN/m

固有振動数

ω_n = √(10769/10) = 32.82 rad/s

f_n = 32.82/(2π) = 5.223 Hz

答え

f_n = 5.223 Hz

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