歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 125 mm の駆動プーリ上を 720 rpm で走っています。張力は張り側で 500 N、緩み側で 125 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 125 mmn1 = 720 rpmT1 = 500 NT2 = 125 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
1440 rpm の 1.1 kW のモータが歯車 A（歯数 25）を駆動し、A は歯車 B（歯数 40）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 12）が出力軸の歯車 D（歯数 48）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 1.1 kWnin = 1440 rpmA = 25B = 40C = 12D = 48ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 40 mm、長さ 0.5 m、区間 BC は直径 25 mm、長さ 2 m である。自由端 C にトルク 100 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 100 N·md1 = 40 mm, L1 = 0.5 md2 = 25 mm, L2 = 2 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 5 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 5 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.6τallow = 80 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −30 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −30 MPaσy = −40 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 60 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 60 MPaσy = −60 MPaτxy = 50 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 105 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 75 kN区間 1：Ø40 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 85 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
50 kg の質量が、ばね定数 80 kN/m のばねと、減衰係数 800 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 50 kgk = 80 kN/mc = 800 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 50 kN/m、k₂ = 50 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 1.767 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 4.712 m/s
電力
P = (500 − 125)·4.712 = 1767 W = 1.767 kW
答え
P = 1.767 kW
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 44.84 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1440·(25/40)·(12/48) = 225 rpm
ωout = 2π·225/60 = 23.56 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 1100·0.98² = 1056 W
Tout = Pout/ωout = 1056/23.56 = 44.84 N·m
答え
Tout = 44.84 N·m
3.軸のねじり
答え: τmax = 32.59 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 100 N·m = 100000 N·mm
τAB = 16·100000/(π·40³) = 7.958 MPa
τBC = 16·100000/(π·25³) = 32.59 MPa
答え
τmax = 32.59 MPa
4.軸のねじり
答え: do = 15.17 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 5000/104.7 = 47.75 N·m
許容応力からの外径
T = 47.75 N·m = 47746 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·80·0.8704)) = 15.17 mm
di = 0.6·15.17 = 9.103 mm
答え
do = 15.17 mm
中実軸なら d = 14.49 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −82.98 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −20/20.62 = −0.9701, sin 2θs = −5/20.62 = −0.2425
2θs = atan2(−5, −20) = −166°
要素上の角度
θs = −82.98°
確認: θs − θp = −82.98 − (−37.98) = −45°
答え
θs = −82.98°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 59.66 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 0 + 60·0.1736 + 50·0.9848 = 59.66 MPa
答え
σθ = 59.66 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.968 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113.1 = 928.4 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 928.4/117000 = 0.007935 = 7935 µε
伸び
δ = ε·L = 0.007935·500 mm = 3.968 mm
答え
δ = 3.968 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 9.9 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 59.68 MPa
σ2 = 663.1 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 59.68·500/70000 = 0.4263 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 663.1·1000/70000 = 9.474 mm
δ = δ1 + δ2 = 9.9 mm
答え
δ = 9.9 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 32.75 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32.75 kN
答え
Pcr = 32.75 kN
10.柱の座屈
答え: d = 71.99 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 71.99 mm
答え
d = 71.99 mm
確認：細長比 KL/r は 194.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.2
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·50) = 4000 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 800/4000 = 0.2
答え
ζ = 0.2
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 7.118 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 50 + 50 = 100 kN/m
固有振動数
ωn = √(100000/50) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
答え
fn = 7.118 Hz
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