歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm で回転する 7.5 kW のモータが歯数 16 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 60 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 7.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 16N2 = 60η = 97%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、960 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 12）が歯車 B（歯数 50）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 25）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 960 rpmA = 12B = 50C = 18D = 25
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 75 mm、長さ 0.5 m、区間 BC は直径 50 mm、長さ 1.2 m である。自由端 C にトルク 500 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 500 N·md1 = 75 mm, L1 = 0.5 md2 = 50 mm, L2 = 1.2 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 750 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 110 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 130 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 130 MPaσy = −80 MPaτxy = −60 MPaσY = 350 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 60 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 95 kN区間 1：Ø30 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 40 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 40 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 20 mm の 1 周期後に 10.6 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 20 mmx1 = 10.6 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 40 kN/m、k₂ = 12 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 271.4 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m
出力トルク
T2 = 74.6·60/16·0.97 = 271.4 N·m
答え
T2 = 271.4 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 165.9 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 960·12/50 = 230.4 rpm = nC
第 2 段
nout = 230.4·18/25 = 165.9 rpm
答え
nout = 165.9 rpm
全体の速比 = 5.787 : 1
3.軸のねじり
答え: τmax = 20.37 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 500 N·m = 500000 N·mm
τAB = 16·500000/(π·75³) = 6.036 MPa
τBC = 16·500000/(π·50³) = 20.37 MPa
答え
τmax = 20.37 MPa
4.軸のねじり
答え: d = 22.11 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22.11 mm
答え
d = 22.11 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 35.78 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 110 − 90) = 71.57°
要素上の角度
θp = 35.78°
答え
θp = 35.78°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 1.659
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 25 MPa, R = 120.9 MPa
σ1 = 145.9 MPa, σ2 = −95.93 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(145.9² − 145.9·(−95.93) + (−95.93)²) = 211 MPa
n = 350/211 = 1.659
答え
n = 1.659
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 954.9 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 60·1000/314.2 = 191 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 191/200000 = 0.0009549 = 954.9 µε
答え
ε = 954.9 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.706 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 472.5 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 134.4·2000/200000 = 1.344 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 472.5·500/100000 = 2.362 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.706 mm
答え
δ = 3.706 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 12.02 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4200² = 12016 N = 12.02 kN
答え
Pcr = 12.02 kN
10.柱の座屈
答え: d = 50.75 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·40000 = 100000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 50.75 mm
答え
d = 50.75 mm
確認：細長比 KL/r は 118.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1005
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(20/10.6) = 0.6349
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6349/√(39.48 + 0.4031) = 0.1005
答え
ζ = 0.1005
12.機械振動
答え: keq = 52 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 40 + 12 = 52 kN/m
答え
keq = 52 kN/m
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