歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 100 mm の駆動プーリ上を 1500 rpm で走っています。張力は張り側で 1500 N、緩み側で 600 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 100 mmn1 = 1500 rpmT1 = 1500 NT2 = 600 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1500 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 25）が歯車 B（歯数 50）を駆動する。歯車 C（歯数 24）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 45）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1500 rpmA = 25B = 50C = 24D = 45
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 50 mm、長さ 1.2 m、区間 BC は直径 40 mm、長さ 3 m である。自由端 C にトルク 1000 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 1000 N·md1 = 50 mm, L1 = 1.2 md2 = 40 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 500 rpm で 50 kW を伝達する。せん断応力は 40 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 50 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 80 MPaσy = 40 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 40 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 275 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPaσY = 275 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 120 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 50 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 25 mm の 4 周期後に 15.1 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 25 mmx4 = 15.1 mmn = 4
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 60 kN/m、k₂ = 10 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 10 kgk1 = 60 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 7.069 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 7.854 m/s
電力
P = (1500 − 600)·7.854 = 7069 W = 7.069 kW
答え
P = 7.069 kW
2.歯車と歯車列
答え: nout = 400 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1500·25/50 = 750 rpm = nC
第 2 段
nout = 750·24/45 = 400 rpm
答え
nout = 400 rpm
全体の速比 = 3.75 : 1
3.軸のねじり
答え: τmax = 79.58 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
τAB = 16·1 × 10⁶/(π·50³) = 40.74 MPa
τBC = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79.58 MPa
答え
τmax = 79.58 MPa
4.軸のねじり
答え: d = 66.07 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m
強度から決まる直径
T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49.54 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·954930/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 66.07 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(49.54, 66.07) = 66.07 mm
答え
d = 66.07 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 13.28 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·10, 80 − 40) = 26.57°
要素上の角度
θp = 13.28°
答え
θp = 13.28°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.115
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 80 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 130 MPa, σ2 = 30 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 130 MPa
n = 275/130 = 2.115
答え
n = 2.115
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 21.83 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 120·1000/78.54 = 1528 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1528/70000 = 0.02183 = 21827 µε
伸び
δ = ε·L = 0.02183·1000 mm = 21.83 mm
答え
δ = 21.83 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 358.8 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·5890 = 7.893 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.0008, 0.0004545) = 0.0004545 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0004545·7.893 × 10⁸ = 358784 N = 358.8 kN
答え
Pmax = 358.8 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 5.757 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2500² = 5757 N = 5.757 kN
答え
Pcr = 5.757 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 4.819 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/6.25 = 640
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4.819 MPa
答え
σcr = 4.819 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.02006
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/4)·ln(25/15.1) = 0.126
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.126/√(39.48 + 0.01589) = 0.02006
答え
ζ = 0.02006
12.機械振動
答え: keq = 70 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 60 + 10 = 70 kN/m
答え
keq = 70 kN/m
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