歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 2.2 kW のモータが歯数 20 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 80 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 2.2 kWn1 = 1450 rpmN1 = 20N2 = 80η = 100%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 18、各遊星歯車の歯数は 30 である。遊星キャリヤを固定し、太陽歯車を 3000 rpm で駆動する。リングギヤの回転速度 nr（大きさ）を求めよ。
Ns = 18Np = 30ns = 3000 rpm
nr = rpm
3.軸のねじりふつう
長さ 1 m の黄銅製の中実軸がトルク 100 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 0.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 100 N·mL = 1 mG = 39 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 1500 rpm で 10 kW を伝達する。せん断応力は 80 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 10 MPaσy = −40 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が曲げモーメント 100 N·mとトルク 100 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 25 mmM = 100 N·mT = 100 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 90 kN区間 1：Ø30 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
100 kg の質量が、ばね定数 20 kN/m のばねと、減衰係数 1700 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 100 kgk = 20 kN/mc = 1700 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量がばね k₃ = 15 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 100 kN/m と k₂ = 80 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 100 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 57.95 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/151.8 = 14.49 N·m
出力トルク
T2 = 14.49·80/20·1 = 57.95 N·m
答え
T2 = 57.95 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nr = 692.3 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·30 = 78
キャリヤ固定時のウィリスの式
nc = 0 のとき、太陽歯車はアイドラとして働く遊星歯車を介してリングを駆動します。
nr = −ns·Ns/Nr = −3000·18/78 = −692.3 rpm
|nr| = 692.3 rpm
答え
nr = 692.3 rpm
リングは太陽歯車と逆向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: d = 41.59 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·1000/(39000·0.008727) = 293825 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 41.59 mm
答え
d = 41.59 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 33.57 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m
強度から決まる直径
T = 63.66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·80)) = 15.94 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·63662/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 33.57 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(15.94, 33.57) = 33.57 mm
答え
d = 33.57 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 65 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((10 − −40)/2)² + −60²) = 65 MPa
答え
τmax = 65 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 46.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·25³) = 65.19 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32.59 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 32.59 MPa
R = √(32.59² + 32.59²) = 46.1 MPa
答え
τmax = 46.1 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 58.9 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2.653 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/4.244 × 10⁻⁶ = 58905 N = 58.9 kN
答え
P = 58.9 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 286.5 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 127.3 MPa
σ2 = 286.5 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 286.5 MPa
答え
σmax = 286.5 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 6.867 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6.867 kN
答え
Pcr = 6.867 kN
10.柱の座屈
答え: d = 48.81 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 48.81 mm
答え
d = 48.81 mm
確認：細長比 KL/r は 163.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.601
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·100) = 2828 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1700/2828 = 0.601
答え
ζ = 0.601
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 1.873 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 100 + 80 = 180 kN/m
keq = 180·15/(180 + 15) = 13.85 kN/m
固有振動数
ωn = √(13846/100) = 11.77 rad/s
fn = 11.77/(2π) = 1.873 Hz
答え
fn = 1.873 Hz
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