機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

1440 rpm で回転する 4 kW のモータが、歯数 24、モジュール 4 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 F_t を求めよ。

P = 4 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 4 mm

F_t = N

2.歯車と歯車列むずかしい

平行掛けのベルトが、直径 160 mm のプーリと直径 400 mm のプーリをつなぎ、その中心は 600 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。

d₁ = 160 mmd₂ = 400 mmC = 600 mm

θ = °

3.軸のねじりふつう

中空軸がトルク 100 N·m を受けなければならない。内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 d_o を求めよ。

T = 100 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 750 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = −60 MPa である。最大主応力が 10 MPa に達するまでに、せん断応力 τ_xy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。

σ_x = −20 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 10 MPa

τ_xy = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 0 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σ_z = 0）。材料の降伏強さは 355 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.軸応力とひずみふつう

棒が、鋼の区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウムでできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、黄銅でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 80 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

ばね定数 25 kN/m のばねにつながれた 250 kg の質量に、減衰比 0.4 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 f_d を Hz で求めよ。

m = 250 kgk = 25 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.機械振動むずかしい

10 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 100 kN/m、下のばねは k₂ = 40 kN/m である。ばね系の等価ばね定数 k_eq を kN/m で求めよ。

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: F_t = 552.6 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

ピニオンのトルク

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 4000/150.8 = 26.53 N·m

ピッチ円直径

d = m·N = 4·24 = 96 mm

接線力

F_t = 2T/d = 2·26.53/0.096 = 552.6 N

答え

F_t = 552.6 N

2.歯車と歯車列

答え: θ = 156.9 °

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

ベルトの角度

asin(0.2) = 11.54°

巻き付け角

θ = 180 − 2·11.54 = 156.9°

答え

θ = 156.9°

3.軸のねじり

答え: d_o = 24.32 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0.5904)) = 24.32 mm

d_i = 0.8·24.32 = 19.45 mm

答え

d_o = 24.32 mm

中実軸なら d = 20.4 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: d = 43.28 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43.28 mm

答え

d = 43.28 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_xy = 45.83 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

必要な半径

C = (−20 + (−60))/2 = −40 MPa

R = σ₁ − C = 10 − (−40) = 50 MPa

せん断応力

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 20²) = 45.83 MPa

答え

τ_xy = 45.83 MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 17.75

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = 5 MPa, R = 11.18 MPa

σ₁ = 16.18 MPa, σ₂ = −6.18 MPa, σ₃ = 0

ミーゼス

σ_vM = √(16.18² − 16.18·(−6.18) + (−6.18)²) = 20 MPa

n = 355/20 = 17.75

答え

n = 17.75

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

7.軸応力とひずみ

答え: P = 52.26 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4.547 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.3/5.741 × 10⁻⁶ = 52256 N = 52.26 kN

答え

P = 52.26 kN

8.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 30.56 MPa

剛性

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 80000·981748/1.309 × 10⁶ = 60000 N

応力

σ₂ = 60000/1963 = 30.56 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 30.56 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 24.67 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2500 = 2500 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2500² = 24674 N = 24.67 kN

答え

P_cr = 24.67 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 13.77 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6.25 = 224

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13.77 MPa

答え

σ_cr = 13.77 MPa

11.機械振動

答え: f_d = 1.459 Hz

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

減衰のない固有振動数

ω_n = √(25000/250) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

減衰固有振動数

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.4²) = 1.459 Hz

答え

f_d = 1.459 Hz

12.機械振動

答え: k_eq = 28.57 kN/m

等価ばね定数

直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/40 → k_eq = 100·40/(100 + 40) = 28.57 kN/m

答え

k_eq = 28.57 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design